Номер 406, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 406, страница 119.

Условие.

406. Исследуйте, может ли сумма $n$ первых натуральных чисел быть равной:

а) 555;

б) 666.

Решение.

Решение 2 (rus).

Сумма первых $n$ натуральных чисел представляет собой сумму членов арифметической прогрессии и вычисляется по формуле: $S_n = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$. Чтобы выяснить, может ли эта сумма принимать заданные значения, необходимо проверить, существует ли натуральное число $n$, для которого это равенство выполняется.

а)

Проверим, может ли сумма быть равной 555. Для этого решим уравнение:

$\frac{n(n+1)}{2} = 555$

Умножим обе части на 2:

$n(n+1) = 1110$

Нам нужно найти такое натуральное число $n$, что произведение его и следующего за ним числа $n+1$ равно 1110. Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 1110. Оценим величину $n$. Так как $n$ и $n+1$ близки, то $n(n+1) \approx n^2$.

$n^2 \approx 1110$

Поскольку $30^2 = 900$ и $35^2 = 1225$, искомое значение $n$ должно находиться между 30 и 35. Проверим произведения последовательных целых чисел в этом промежутке:

$32 \cdot 33 = 1056$

$33 \cdot 34 = 1122$

Мы видим, что $1056 < 1110 < 1122$. Это означает, что не существует целого числа $n$, для которого произведение $n(n+1)$ было бы равно 1110.

Также можно решить квадратное уравнение $n^2 + n - 1110 = 0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1110) = 1 + 4440 = 4441$. Корень из дискриминанта $\sqrt{4441}$ не является целым числом (так как $66^2 = 4356$ и $67^2 = 4489$), следовательно, корни уравнения не являются целыми числами. Таким образом, не существует натурального $n$, при котором сумма была бы равна 555.

Ответ: нет, не может.

б)

Проверим, может ли сумма быть равной 666. Составим и решим уравнение:

$\frac{n(n+1)}{2} = 666$

Умножим обе части на 2:

$n(n+1) = 1332$

Ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 1332. Оценим $n$ из условия $n^2 \approx 1332$.

Так как $30^2 = 900$ и $40^2 = 1600$, $n$ находится между 30 и 40. Проверим значения, близкие к $\sqrt{1332}$:

$35^2 = 1225$

$36 \cdot 37 = 1332$

Мы нашли подходящее значение: $n=36$. Это натуральное число.

Следовательно, сумма первых 36 натуральных чисел равна 666.

При решении квадратного уравнения $n^2 + n - 1332 = 0$ мы бы получили два корня: $n_1=36$ и $n_2=-37$. Так как $n$ по условию задачи — количество натуральных чисел, то $n$ должно быть натуральным числом. Поэтому нам подходит только корень $n=36$.

Ответ: да, может. Это сумма первых 36 натуральных чисел.