Номер 405, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 405, страница 119.

Условие.

405. Артем поделился с Дашей своим открытием. Он установил, что среди арифметических прогрессий в последовательности $n$ первых нечетных натуральных чисел среднее арифметическое всех ее $n$ членов равно $n$. Так ли это?

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы проверить утверждение Артема, необходимо найти среднее арифметическое последовательности $n$ первых нечетных натуральных чисел.

Последовательность первых $n$ нечетных натуральных чисел имеет вид: $1, 3, 5, 7, \dots$. Эта последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем формулу для $n$-го члена этой прогрессии ($a_n$). Первый член $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 2$.

По формуле $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.

Таким образом, последовательность состоит из чисел: $1, 3, 5, \dots, 2n - 1$.

Среднее арифметическое для конечного набора членов арифметической прогрессии равно полусумме первого и последнего членов. Обозначим его как $M$.

$M = \frac{a_1 + a_n}{2}$

Подставим в эту формулу значения первого и $n$-го членов нашей последовательности:

$M = \frac{1 + (2n - 1)}{2} = \frac{1 + 2n - 1}{2} = \frac{2n}{2} = n$.

Полученный результат $M=n$ совпадает с утверждением Артема. Следовательно, его открытие является верным.

Ответ: Да, утверждение Артема верно.