Номер 409, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 409, страница 120.

Условие.

409. Решите уравнение, в котором слагаемые являются членами арифметической прогрессии:

a) $1 + 7 + 13 + \dots + x = 280$;

б) $(x + 1) + (x + 4) + \dots + (x + 28) = 155$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) 1 + 7 + 13 + ... + x = 280

Слагаемые в левой части уравнения образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее параметры.
Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
Второй член $a_2 = 7$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 7 - 1 = 6$.
Последний, n-й член прогрессии $a_n = x$.
Сумма первых n членов прогрессии $S_n = 280$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $x = 1 + (n-1) \cdot 6$, что дает нам $x = 6n - 5$. Отсюда можно выразить количество членов n через x: $n = \frac{x+5}{6}$.
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения в формулу суммы: $280 = \frac{1 + x}{2} \cdot n$.
Теперь подставим выражение для n в это уравнение: $280 = \frac{1 + x}{2} \cdot \frac{x+5}{6}$.
$280 = \frac{(1+x)(x+5)}{12}$.
Умножим обе части на 12: $280 \cdot 12 = (1+x)(x+5)$.
$3360 = x + 5 + x^2 + 5x$.
$x^2 + 6x + 5 - 3360 = 0$.
$x^2 + 6x - 3355 = 0$.
Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3355) = 36 + 13420 = 13456$.
$\sqrt{D} = \sqrt{13456} = 116$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 116}{2} = \frac{110}{2} = 55$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 116}{2} = \frac{-122}{2} = -61$.
Так как прогрессия возрастающая (1, 7, 13, ...), то ее член $x$ должен быть больше предыдущих, то есть $x > 13$. Корень $x = -61$ не подходит. Проверим корень $x=55$. Если $x=55$, то число членов $n = \frac{55+5}{6} = \frac{60}{6} = 10$. Число членов является натуральным числом, значит, решение верное.
Ответ: x = 55.

б) (x + 1) + (x + 4) + ... + (x + 28) = 155

Слагаемые в левой части также являются членами арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = x + 1$.
Второй член $a_2 = x + 4$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = (x + 4) - (x + 1) = 3$.
Последний член прогрессии $a_n = x + 28$.
Сумма прогрессии $S_n = 155$.
Найдем количество членов прогрессии n, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$x + 28 = (x + 1) + (n-1) \cdot 3$.
$28 - 1 = (n-1) \cdot 3$.
$27 = 3(n-1)$.
$9 = n-1$.
$n = 10$.
Теперь воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения: $155 = \frac{(x+1) + (x+28)}{2} \cdot 10$.
$155 = \frac{2x + 29}{2} \cdot 10$.
$155 = (2x + 29) \cdot 5$.
Разделим обе части на 5: $31 = 2x + 29$.
$2x = 31 - 29$.
$2x = 2$.
$x = 1$.
Ответ: x = 1.