Номер 413, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 413, страница 120.

Условие.

413. Исследуйте, является ли арифметической прогрессией последовательность, для которой $S_n = n^2 - 1$, где $n \in N$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы исследовать, является ли данная последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между любыми двумя ее последовательными членами постоянной. Пусть последовательность обозначается $(a_n)$. Тогда она является арифметической прогрессией, если $a_{n+1} - a_n = d$ для всех натуральных $n$, где $d$ — постоянная величина (разность прогрессии).

Нам дана формула для суммы первых $n$ членов последовательности: $S_n = n^2 - 1$. Используя эту формулу, мы можем найти любой член последовательности. Первый член $a_1$ равен $S_1$. Для $n \ge 2$ каждый последующий член $a_n$ можно найти по формуле $a_n = S_n - S_{n-1}$.

Найдем первые три члена последовательности, чтобы проверить постоянство разности.

1. Находим первый член $a_1$:

$a_1 = S_1 = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

2. Находим второй член $a_2$:

Сначала вычислим $S_2$: $S_2 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.

Теперь найдем $a_2$: $a_2 = S_2 - S_1 = 3 - 0 = 3$.

3. Находим третий член $a_3$:

Сначала вычислим $S_3$: $S_3 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.

Теперь найдем $a_3$: $a_3 = S_3 - S_2 = 8 - 3 = 5$.

Итак, первые три члена последовательности: $a_1=0$, $a_2=3$, $a_3=5$.

Теперь проверим, одинакова ли разность между этими членами.

Разность между вторым и первым членами: $a_2 - a_1 = 3 - 0 = 3$.

Разность между третьим и вторым членами: $a_3 - a_2 = 5 - 3 = 2$.

Поскольку разности не равны ($3 \neq 2$), последовательность не является арифметической прогрессией.

Альтернативное решение:

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии с первым членом $a_1$ и разностью $d$ задается формулой $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$. Если преобразовать это выражение, мы получим $S_n = \frac{d}{2}n^2 + (a_1 - \frac{d}{2})n$. Это квадратичная функция от $n$ вида $An^2+Bn$, у которой свободный член равен нулю. В нашем случае $S_n = n^2 - 1$. Здесь свободный член равен -1, а не 0. Это противоречит общему виду формулы суммы для арифметической прогрессии, что также доказывает, что данная последовательность не является арифметической.

Ответ: последовательность, для которой $S_n = n^2 - 1$, не является арифметической прогрессией.