Вопросы, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - страница 124.

Условие.

1. Дайте определение геометрической прогрессии.

2. Выведите формулу n-го члена геометрической прогрессии.

3. Сформулируйте характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Дайте определение геометрической прогрессии.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой $q$. Первый член геометрической прогрессии $b_1$ также должен быть отличен от нуля.

Таким образом, для любого натурального числа $n$ выполняется равенство: $b_{n+1} = b_n \cdot q$, где $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.

Ответ: Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел $(b_n)$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на постоянное для этой последовательности число $q$ (знаменатель прогрессии), то есть $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

2. Выведите формулу n-го члена геометрической прогрессии.

Пусть дан первый член геометрической прогрессии $b_1$ и ее знаменатель $q$. Используя определение геометрической прогрессии, мы можем последовательно найти любой член прогрессии.

Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q$.

Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2$.

Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3$.

Можно заметить закономерность: чтобы найти $n$-й член прогрессии, нужно первый член $b_1$ умножить на знаменатель $q$ в степени $n-1$.

Таким образом, формула для нахождения $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Ответ: Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

3. Сформулируйте характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии связывает любой ее член с соседними членами.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, начиная со второго, равен произведению предшествующего и последующего членов.

Для любой геометрической прогрессии $(b_n)$ и для любого $k \ge 2$ справедливо равенство: $b_k^2 = b_{k-1} \cdot b_{k+1}$.

Доказательство: по определению $b_k = b_{k-1} \cdot q$ и $b_{k+1} = b_k \cdot q$. Из второго равенства выразим $q = \frac{b_{k+1}}{b_k}$. Подставим это выражение в первое равенство: $b_k = b_{k-1} \cdot \frac{b_{k+1}}{b_k}$. Умножив обе части на $b_k$ (что возможно, так как члены прогрессии не равны нулю), получим $b_k^2 = b_{k-1} \cdot b_{k+1}$.

Для прогрессии с положительными членами это свойство означает, что каждый член, начиная со второго, является средним геометрическим своих соседей: $b_k = \sqrt{b_{k-1} \cdot b_{k+1}}$.

Ответ: Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов: $b_k^2 = b_{k-1} \cdot b_{k+1}$ для $k \ge 2$.