Номер 423, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 423, страница 125.

Условие.

423. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите:

a) $b_5$, если $b_1 = 5$, $q = -\frac{1}{2}$;

б) $b_9$, если $b_6 = \frac{1}{32}$, $q = \frac{1}{2}$;

в) $q$, если $b_3 = 7$, $b_6 = 56$;

г) $b_9$, если $b_2 = 2$, $b_5 = \frac{1}{4}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данном случае нам нужно найти пятый член прогрессии ($b_5$), зная первый член $b_1 = 5$ и знаменатель $q = -\frac{1}{2}$. Подставим известные значения в формулу:$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = 5 \cdot (-\frac{1}{2})^4$.Так как показатель степени (4) является четным числом, отрицательный знак у основания степени исчезает при возведении в степень:$b_5 = 5 \cdot \frac{1^4}{2^4} = 5 \cdot \frac{1}{16} = \frac{5}{16}$.Ответ: $b_5 = \frac{5}{16}$.

б) Используем ту же формулу для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Нам известен шестой член $b_6 = \frac{1}{32}$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Нам нужно найти первый член $b_1$. Подставим известные значения в формулу для $n=6$:$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$.$\frac{1}{32} = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^5$.Вычислим степень: $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$.Получаем уравнение:$\frac{1}{32} = b_1 \cdot \frac{1}{32}$.Чтобы найти $b_1$, разделим обе части уравнения на $\frac{1}{32}$:$b_1 = \frac{1}{32} \div \frac{1}{32} = 1$.Ответ: $b_1 = 1$.

в) Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, зная два ее члена $b_m$ и $b_n$, можно использовать обобщенную формулу $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$. Нам даны $b_3 = 7$ и $b_6 = 56$. Подставим эти значения в формулу, где $n=6$ и $m=3$:$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3} = b_3 \cdot q^3$.$56 = 7 \cdot q^3$.Выразим $q^3$, разделив обе части на 7:$q^3 = \frac{56}{7} = 8$.Теперь найдем $q$, извлекая кубический корень из обеих частей уравнения:$q = \sqrt[3]{8} = 2$.Ответ: $q = 2$.

г) Эта задача решается в два шага. Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, а затем искомый член $b_9$.Шаг 1: Находим знаменатель $q$. Используем формулу $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$ с известными членами $b_2 = 2$ и $b_5 = \frac{1}{4}$. Пусть $n=5$ и $m=2$:$b_5 = b_2 \cdot q^{5-2} = b_2 \cdot q^3$.Подставим известные значения:$\frac{1}{4} = 2 \cdot q^3$.Выразим $q^3$:$q^3 = \frac{1/4}{2} = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$.Находим $q$, извлекая кубический корень:$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.Шаг 2: Находим $b_9$. Теперь, зная $q=\frac{1}{2}$, мы можем найти $b_9$, используя, например, член $b_5 = \frac{1}{4}$:$b_9 = b_5 \cdot q^{9-5} = b_5 \cdot q^4$.Подставляем значения:$b_9 = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{64}$.Ответ: $b_9 = \frac{1}{64}$.