Номер 429, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 429, страница 126.

Условие.

429. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 60. Если от первого числа отнять 10, от второго 8, а третье оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Удобно представить их через средний член $a$ и разность прогрессии $d$: $a_1 = a - d$, $a_2 = a$, $a_3 = a + d$.

Согласно условию задачи, сумма этих трех чисел равна 60:

$(a - d) + a + (a + d) = 60$

$3a = 60$

$a = 20$

Таким образом, мы нашли средний член прогрессии, который равен 20. Теперь исходные числа можно записать как $20 - d$, $20$, $20 + d$.

Далее, из условия следует, что если от первого числа отнять 10, от второго — 8, а третье оставить без изменений, то получится геометрическая прогрессия. Составим новую последовательность чисел:

Новое первое число: $b_1 = (20 - d) - 10 = 10 - d$

Новое второе число: $b_2 = 20 - 8 = 12$

Новое третье число: $b_3 = 20 + d$

Числа $10 - d$, $12$, $20 + d$ образуют геометрическую прогрессию. Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим наши значения в это свойство:

$12^2 = (10 - d)(20 + d)$

$144 = 200 + 10d - 20d - d^2$

$144 = 200 - 10d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$d^2 + 10d + 144 - 200 = 0$

$d^2 + 10d - 56 = 0$

Решим это уравнение относительно $d$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 100 + 224 = 324$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$.

Теперь найдем два возможных значения для разности $d$:

$d_1 = \frac{-10 + 18}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$d_2 = \frac{-10 - 18}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Существует два возможных набора исходных чисел, соответствующих двум найденным значениям $d$.

Случай 1: d = 4

Находим исходные числа арифметической прогрессии:

$a_1 = 20 - 4 = 16$

$a_2 = 20$

$a_3 = 20 + 4 = 24$

Получилась последовательность 16, 20, 24. Проверка: их сумма $16+20+24=60$. Новые числа: $16-10=6$, $20-8=12$, $24$. Последовательность 6, 12, 24 является геометрической прогрессией, так как $12^2 = 144$ и $6 \cdot 24 = 144$.

Случай 2: d = -14

Находим исходные числа арифметической прогрессии:

$a_1 = 20 - (-14) = 34$

$a_2 = 20$

$a_3 = 20 + (-14) = 6$

Получилась последовательность 34, 20, 6. Проверка: их сумма $34+20+6=60$. Новые числа: $34-10=24$, $20-8=12$, $6$. Последовательность 24, 12, 6 является геометрической прогрессией, так как $12^2 = 144$ и $24 \cdot 6 = 144$.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 16, 20, 24 или 34, 20, 6.