Номер 424, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 424, страница 125.

Условие.

424. Найдите первый член возрастающей геометрической прогрессии, в которой:

a) $b_1 + b_2 = 14, \frac{b_4}{b_3} = 4;$

б) $b_1 b_2 = 144, \frac{b_4}{b_3} = 3;$

в) $b_1 + b_2 + b_3 = 7, \frac{b_4}{b_2} = 2;$

г) $b_1 b_2 b_3 = 729, \frac{b_5}{b_3} = 9.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дано: $b_1 + b_2 = 14$ и $\frac{b_4}{b_3} = 4$.

Из второго условия найдем знаменатель прогрессии $q$. По определению геометрической прогрессии, отношение любого члена к предыдущему равно знаменателю $q$.

$\frac{b_4}{b_3} = q$, следовательно, $q = 4$.

Так как прогрессия возрастающая и $q = 4 > 1$, то ее первый член $b_1$ должен быть положительным ($b_1 > 0$).

Теперь используем первое условие. Выразим $b_2$ через $b_1$ и $q$: $b_2 = b_1 \cdot q$.

$b_1 + b_1 \cdot q = 14$

$b_1(1 + q) = 14$

Подставим найденное значение $q = 4$:

$b_1(1 + 4) = 14$

$5b_1 = 14$

$b_1 = \frac{14}{5} = 2.8$

Поскольку $b_1 = 2.8 > 0$, это решение удовлетворяет условию возрастающей прогрессии.

Ответ: $2.8$

б)

Дано: $b_1 b_2 = 144$ и $\frac{b_4}{b_3} = 3$.

Из второго условия найдем знаменатель прогрессии $q$:

$\frac{b_4}{b_3} = q$, следовательно, $q = 3$.

Так как прогрессия возрастающая и $q = 3 > 1$, ее первый член $b_1$ должен быть положительным ($b_1 > 0$).

Используем первое условие, выразив $b_2$ через $b_1$ и $q$: $b_2 = b_1 \cdot q$.

$b_1 \cdot (b_1 \cdot q) = 144$

$b_1^2 \cdot q = 144$

Подставим найденное значение $q = 3$:

$b_1^2 \cdot 3 = 144$

$b_1^2 = \frac{144}{3}$

$b_1^2 = 48$

$b_1 = \pm\sqrt{48} = \pm\sqrt{16 \cdot 3} = \pm4\sqrt{3}$

Согласно условию возрастающей прогрессии с $q > 1$, выбираем положительное значение для $b_1$.

$b_1 = 4\sqrt{3}$

Ответ: $4\sqrt{3}$

в)

Дано: $b_1 + b_2 + b_3 = 7$ и $\frac{b_4}{b_2} = 2$.

Из второго условия найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$\frac{b_4}{b_2} = \frac{b_1 q^{4-1}}{b_1 q^{2-1}} = \frac{q^3}{q} = q^2$.

Следовательно, $q^2 = 2$, откуда $q = \sqrt{2}$ или $q = -\sqrt{2}$.

Для возрастающей геометрической прогрессии необходимо, чтобы либо $b_1 > 0$ и $q > 1$, либо $b_1 < 0$ и $0 < q < 1$.

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, мы выбираем $q = \sqrt{2}$ и ожидаем, что $b_1 > 0$. Вариант $q = -\sqrt{2}$ не подходит, так как прогрессия будет знакочередующейся, а не возрастающей.

Теперь используем первое условие. Выразим $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:

$b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 7$

$b_1(1 + q + q^2) = 7$

Подставим значения $q = \sqrt{2}$ и $q^2 = 2$:

$b_1(1 + \sqrt{2} + 2) = 7$

$b_1(3 + \sqrt{2}) = 7$

$b_1 = \frac{7}{3 + \sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{2})$:

$b_1 = \frac{7(3 - \sqrt{2})}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})} = \frac{7(3 - \sqrt{2})}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{7(3 - \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{7(3 - \sqrt{2})}{7} = 3 - \sqrt{2}$.

Проверим, что $b_1 > 0$. Так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{2}$, то $3 - \sqrt{2} > 0$. Условие возрастающей прогрессии выполнено.

Ответ: $3 - \sqrt{2}$

г)

Дано: $b_1 b_2 b_3 = 729$ и $\frac{b_5}{b_3} = 9$.

Из второго условия найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 q^{5-1}}{b_1 q^{3-1}} = \frac{q^4}{q^2} = q^2$.

Следовательно, $q^2 = 9$, откуда $q = 3$ или $q = -3$.

Для возрастающей геометрической прогрессии с $q > 1$ необходимо, чтобы $b_1 > 0$. Выбираем $q = 3$ и будем искать положительное значение $b_1$. Вариант $q = -3$ не подходит, так как прогрессия будет знакочередующейся.

Теперь используем первое условие. Выразим $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:

$b_1 \cdot (b_1 q) \cdot (b_1 q^2) = 729$

$b_1^3 q^3 = 729$

$(b_1 q)^3 = 729$

Так как $729 = 9^3$, получаем:

$(b_1 q)^3 = 9^3$

$b_1 q = 9$

Подставим найденное значение $q = 3$:

$b_1 \cdot 3 = 9$

$b_1 = \frac{9}{3} = 3$

Так как $b_1 = 3 > 0$, это решение удовлетворяет условию возрастающей прогрессии.

Ответ: $3$