Номер 430, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 430, страница 126.

Условие.

430. Исследуйте, могут ли длины сторон треугольника составлять геометрическую прогрессию и быть выражены натуральными числами, произведение которых равно 216.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи обозначим длины сторон треугольника как $a, b, c$. По условию, эти длины являются натуральными числами, составляют геометрическую прогрессию, и их произведение равно 216.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда стороны треугольника можно записать как $a = b_1$, $b = b_1q$, $c = b_1q^2$.

Используем условие о произведении сторон:

$a \cdot b \cdot c = 216$

$b_1 \cdot (b_1q) \cdot (b_1q^2) = 216$

$b_1^3 q^3 = 216$

$(b_1q)^3 = 216$

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем:

$b_1q = \sqrt[3]{216} = 6$

Это означает, что средний член прогрессии, сторона $b$, равен 6. Теперь мы можем выразить остальные стороны через $q$:

$b = 6$

$a = b_1 = \frac{b_1q}{q} = \frac{6}{q}$

$c = b_1q^2 = (b_1q)q = 6q$

Таким образом, стороны треугольника равны $\frac{6}{q}$, 6 и $6q$.

По условию, все стороны должны быть натуральными числами. Это накладывает ограничения на знаменатель прогрессии $q$. Поскольку $\frac{6}{q}$ и $6q$ должны быть натуральными числами, $q$ должен быть рациональным числом. Представим $q$ в виде несократимой дроби $q = \frac{m}{n}$, где $m, n$ — натуральные числа и их наибольший общий делитель равен 1.

Тогда $a = \frac{6n}{m}$ и $c = \frac{6m}{n}$.

Из того, что $a = \frac{6n}{m}$ — натуральное число и дробь $\frac{m}{n}$ несократима, следует, что $m$ должно быть делителем числа 6.

Из того, что $c = \frac{6m}{n}$ — натуральное число и дробь $\frac{m}{n}$ несократима, следует, что $n$ должно быть делителем числа 6.

Делителями числа 6 являются: 1, 2, 3, 6. Составим все возможные значения $q = \frac{m}{n}$, где $m, n \in \{1, 2, 3, 6\}$ и $\text{НОД}(m, n) = 1$. Для удобства будем рассматривать $q \ge 1$ (случай $q < 1$ даст тот же набор сторон, но в обратном порядке).

• Если $q=1$ ($m=1, n=1$), то стороны: 6, 6, 6.
• Если $q = \frac{3}{2}$ ($m=3, n=2$), то стороны: $\frac{6}{3/2}=4$, 6, $6 \cdot \frac{3}{2}=9$. Набор сторон: 4, 6, 9.
• Если $q = 2$ ($m=2, n=1$), то стороны: $\frac{6}{2}=3$, 6, $6 \cdot 2=12$. Набор сторон: 3, 6, 12.
• Если $q = 3$ ($m=3, n=1$), то стороны: $\frac{6}{3}=2$, 6, $6 \cdot 3=18$. Набор сторон: 2, 6, 18.
• Если $q = 6$ ($m=6, n=1$), то стороны: $\frac{6}{6}=1$, 6, $6 \cdot 6=36$. Набор сторон: 1, 6, 36.

Теперь необходимо проверить, для каких из этих наборов выполняется неравенство треугольника. Согласно этому неравенству, сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Если стороны упорядочены по возрастанию $a \le b \le c$, достаточно проверить выполнение одного условия: $a+b > c$.

Для сторон $\frac{6}{q}$, 6, $6q$ при $q \ge 1$ неравенство треугольника имеет вид:

$\frac{6}{q} + 6 > 6q$

Разделим обе части на 6:

$\frac{1}{q} + 1 > q$

Умножим на $q$ (поскольку $q>0$, знак неравенства не изменится):

$1 + q > q^2$

$q^2 - q - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $q^2 - q - 1 = 0$: $q = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Неравенство $q^2 - q - 1 < 0$ выполняется для $q$, лежащих между корнями: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < q < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Так как мы рассматриваем $q \ge 1$, то условие существования треугольника: $1 \le q < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Приближенное значение $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1+2.236}{2} \approx 1.618$.

Проверим наши найденные значения $q$:

• $q = 1$. Условие $1 \le 1 < 1.618$ выполняется. Стороны (6, 6, 6) могут образовывать треугольник. Проверка: $6+6 > 6$. Верно.
• $q = \frac{3}{2} = 1.5$. Условие $1 \le 1.5 < 1.618$ выполняется. Стороны (4, 6, 9) могут образовывать треугольник. Проверка: $4+6 > 9$. Верно.
• $q = 2$. Условие $1 \le 2 < 1.618$ не выполняется. Стороны (3, 6, 12) не могут образовывать треугольник. Проверка: $3+6=9 \ngtr 12$.
• $q = 3$. Условие $1 \le 3 < 1.618$ не выполняется. Стороны (2, 6, 18) не могут образовывать треугольник. Проверка: $2+6=8 \ngtr 18$.
• $q = 6$. Условие $1 \le 6 < 1.618$ не выполняется. Стороны (1, 6, 36) не могут образовывать треугольник. Проверка: $1+6=7 \ngtr 36$.

Таким образом, существует два набора длин сторон, удовлетворяющих всем условиям задачи.

Ответ: Да, могут. Существует два таких треугольника: равносторонний со сторонами (6, 6, 6) и разносторонний со сторонами (4, 6, 9).