Номер 425, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 425, страница 126.

Условие.

425. Какая из последовательностей, графики которых изображены на рисунке 41, а, б, является геометрической прогрессией?

а)

б)

Рисунок 41

Решение.

Решение 2 (rus).

По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену является постоянным числом. Это число называется знаменателем прогрессии и обозначается $q$. Проверим каждую последовательность, заданную формулой.

а) Последовательность задана формулой $b_n = 2^{4-n}$.
Найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{4-(n+1)}}{2^{4-n}} = \frac{2^{3-n}}{2^{4-n}} = 2^{(3-n) - (4-n)} = 2^{3-n-4+n} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Так как отношение постоянно и равно $\frac{1}{2}$, эта последовательность является геометрической прогрессией.

б) Последовательность задана формулой $b_n = -2^n + 10$.
Найдем первые три члена этой последовательности:
$b_1 = -2^1 + 10 = 8$.
$b_2 = -2^2 + 10 = -4 + 10 = 6$.
$b_3 = -2^3 + 10 = -8 + 10 = 2$.
Теперь проверим отношения последовательных членов:
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$\frac{b_3}{b_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Поскольку $\frac{3}{4} \neq \frac{1}{3}$, отношение не является постоянным, следовательно, эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: геометрической прогрессией является последовательность, изображенная на рисунке а).