Номер 420, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 420, страница 125.

Условие.

420. Установите, какой прогрессией – арифметической или геометрической – является последовательность, для которой:

а) $a_1=7, a_{n+1}=\frac{a_n}{8}$;

в) $c_1=-27, c_{n+1}=\frac{2}{9}+c_n$;

б) $b_1=7, b_{n+1}=b_n-8$;

г) $d_1=-27, d_{n+1}=\frac{2}{9}d_n$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для данной последовательности задана рекуррентная формула $a_{n+1} = \frac{a_n}{8}$. Эту формулу можно представить в виде $a_{n+1} = a_n \cdot \frac{1}{8}$. Соотношение, где каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на постоянное число, определяет геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии равен $q = \frac{1}{8}$.
Ответ: геометрическая прогрессия.

б) Для этой последовательности рекуррентная формула имеет вид $b_{n+1} = b_n - 8$. Это можно записать как $b_{n+1} = b_n + (-8)$. Соотношение, где каждый следующий член равен предыдущему, сложенному с постоянным числом, определяет арифметическую прогрессию. Разность этой прогрессии равна $d = -8$.
Ответ: арифметическая прогрессия.

в) Последовательность задана формулой $c_{n+1} = \frac{2}{9} + c_n$. Её можно переписать как $c_{n+1} = c_n + \frac{2}{9}$. Это определение арифметической прогрессии, где каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему постоянного числа (разности прогрессии). Разность этой прогрессии равна $d = \frac{2}{9}$.
Ответ: арифметическая прогрессия.

г) Последовательность задана формулой $d_{n+1} = \frac{2}{9}d_n$. Это определение геометрической прогрессии, где каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на постоянное число (знаменатель прогрессии). Знаменатель этой прогрессии равен $q = \frac{2}{9}$.
Ответ: геометрическая прогрессия.