Номер 422, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 422, страница 125.

Условие.

422. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), для которой выполняется равенство:

a) $b_2 + b_4 + b_6 = 5(b_1 + b_3 + b_5)$;

б) $b_2 + b_4 + b_6 = -\sqrt{2}(b_1 + b_3 + b_5).$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дано равенство $b_2 + b_4 + b_6 = 5(b_1 + b_3 + b_5)$. Пусть $q$ - знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$). Используя формулу n-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$, выразим каждый член в данном равенстве через первый член $b_1$ и знаменатель $q$.Левая часть равенства: $b_2 + b_4 + b_6 = b_1q + b_1q^3 + b_1q^5$. Вынесем общий множитель $b_1q$ за скобки: $b_1q(1 + q^2 + q^4)$.Правая часть равенства: $5(b_1 + b_3 + b_5) = 5(b_1 + b_1q^2 + b_1q^4)$. Вынесем общий множитель $b_1$ за скобки: $5b_1(1 + q^2 + q^4)$.Приравняем левую и правую части: $b_1q(1 + q^2 + q^4) = 5b_1(1 + q^2 + q^4)$.Для нетривиальной геометрической прогрессии первый член $b_1 \neq 0$. Выражение $1 + q^2 + q^4$ всегда больше нуля для любого действительного значения $q$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1(1 + q^2 + q^4)$, так как это произведение не равно нулю.В результате сокращения получаем: $q = 5$.
Ответ: 5

б) Дано равенство $b_2 + b_4 + b_6 = -\sqrt{2}(b_1 + b_3 + b_5)$. Решение аналогично предыдущему пункту. Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$, используя формулу $b_n = b_1 q^{n-1}$:$b_1q + b_1q^3 + b_1q^5 = -\sqrt{2}(b_1 + b_1q^2 + b_1q^4)$.Вынесем общие множители за скобки в обеих частях равенства:$b_1q(1 + q^2 + q^4) = -\sqrt{2} \cdot b_1(1 + q^2 + q^4)$.При условии, что $b_1 \neq 0$ и, как было показано ранее, $1 + q^2 + q^4 \neq 0$, разделим обе части уравнения на $b_1(1 + q^2 + q^4)$.В результате получаем:$q = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$