Номер 427, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 427, страница 126.

Условие.

427. Три числа $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию. Найдите число $b$, если числа $a, b - 8, c$ также образуют геометрическую прогрессию.

Решение.

Решение 2 (rus).

По условию задачи, три числа $a$, $b$, и $c$ образуют геометрическую прогрессию. Характеристическое свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов. Следовательно, для первой прогрессии мы можем записать следующее равенство:

$b^2 = a \cdot c$

Далее, нам дано, что числа $a$, $b-8$ и $c$ также образуют геометрическую прогрессию. Применяя то же свойство для этой второй последовательности, получаем:

$(b-8)^2 = a \cdot c$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases}b^2 = ac \\(b-8)^2 = ac\end{cases}$

Поскольку правые части обоих уравнений равны ($a \cdot c$), мы можем приравнять их левые части:

$b^2 = (b-8)^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$. Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$b^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 8 + 8^2$

$b^2 = b^2 - 16b + 64$

Вычтем $b^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = -16b + 64$

Перенесем слагаемое, содержащее $b$, в левую часть уравнения, изменив его знак:

$16b = 64$

Найдем $b$, разделив обе части уравнения на 16:

$b = \frac{64}{16}$

$b = 4$

Ответ: 4