Номер 412, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 412, страница 120.

Условие.

412. Найдите сумму $25^2 - 24^2 + 23^2 - 22^2 + ... - 2^2 + 1^2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения значения данного выражения сгруппируем слагаемые попарно:

$S = (25^2 - 24^2) + (23^2 - 22^2) + \dots + (3^2 - 2^2) + 1^2$

Применим к каждой скобке формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$(25^2 - 24^2) = (25-24)(25+24) = 1 \cdot 49 = 49$

$(23^2 - 22^2) = (23-22)(23+22) = 1 \cdot 45 = 45$

И так далее для всех пар. Последняя пара:

$(3^2 - 2^2) = (3-2)(3+2) = 1 \cdot 5 = 5$

Теперь исходная сумма принимает вид:

$S = 49 + 45 + 41 + \dots + 5 + 1$

Мы получили сумму членов арифметической прогрессии. Для удобства вычислений запишем ее в порядке возрастания:

$S = 1 + 5 + 9 + \dots + 45 + 49$

Это арифметическая прогрессия, у которой:

Первый член $a_1 = 1$.

Последний член $a_n = 49$.

Разность прогрессии $d = 5 - 1 = 4$.

Найдем количество членов $n$ в этой прогрессии, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$49 = 1 + (n-1) \cdot 4$

$48 = (n-1) \cdot 4$

$n-1 = \frac{48}{4}$

$n-1 = 12$

$n = 13$

Таким образом, в прогрессии 13 членов. Теперь найдем сумму этой прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S = \frac{1 + 49}{2} \cdot 13$

$S = \frac{50}{2} \cdot 13$

$S = 25 \cdot 13$

$S = 325$

Ответ: 325