Номер 398, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 398, страница 118.

Условие.

398. В арифметической прогрессии сумма пяти первых членов равна 15, а сумма двадцати первых членов равна 360. Найдите сумму двадцати пяти первых членов этой прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид:$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

По условию задачи, сумма пяти первых членов равна 15, то есть $S_5 = 15$. Подставим $n=5$ в формулу:$S_5 = \frac{2a_1 + d(5-1)}{2} \cdot 5 = 15$

Упростим это уравнение:$\frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 15$

$(a_1 + 2d) \cdot 5 = 15$

$a_1 + 2d = 3$ (1)

Также по условию, сумма двадцати первых членов равна 360, то есть $S_{20} = 360$. Подставим $n=20$ в формулу:$S_{20} = \frac{2a_1 + d(20-1)}{2} \cdot 20 = 360$

Упростим второе уравнение:$\frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20 = 360$

$(2a_1 + 19d) \cdot 10 = 360$

$2a_1 + 19d = 36$ (2)

Теперь решим систему из двух уравнений (1) и (2):$\begin{cases} a_1 + 2d = 3 \\ 2a_1 + 19d = 36 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$:$a_1 = 3 - 2d$

Подставим это выражение во второе уравнение:$2(3 - 2d) + 19d = 36$

$6 - 4d + 19d = 36$

$15d = 30$

$d = 2$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение для $a_1$:$a_1 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$

Мы определили, что первый член прогрессии $a_1 = -1$ и её разность $d = 2$. Теперь необходимо найти сумму двадцати пяти первых членов, $S_{25}$.

Используем ту же формулу для $n=25$:$S_{25} = \frac{2a_1 + d(25-1)}{2} \cdot 25$

$S_{25} = \frac{2(-1) + 2(24)}{2} \cdot 25$

$S_{25} = \frac{-2 + 48}{2} \cdot 25$

$S_{25} = \frac{46}{2} \cdot 25$

$S_{25} = 23 \cdot 25 = 575$

Ответ: 575