Номер 393, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 393, страница 118.

Условие.

393. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, для которой:

а) $S_7 = 105, a_7 = -6;$

б) $S_{15} = 121.5, a_{15} = 11.6.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения первого члена $a_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии $(a_n)$ воспользуемся формулами суммы первых $n$ членов и $n$-го члена прогрессии.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

По условию дано $S_7 = 105$ и $a_7 = -6$. Подставим эти значения в формулу при $n=7$, чтобы найти $a_1$:

$105 = \frac{a_1 + (-6)}{2} \cdot 7$

Разделим обе части уравнения на 7:

$15 = \frac{a_1 - 6}{2}$

Теперь умножим обе части на 2:

$30 = a_1 - 6$

Из этого уравнения находим первый член прогрессии $a_1$:

$a_1 = 30 + 6 = 36$

Далее, для нахождения разности прогрессии $d$ воспользуемся формулой $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

При $n=7$ имеем $a_7 = a_1 + (7-1)d$. Подставим известные значения $a_7 = -6$ и $a_1 = 36$:

$-6 = 36 + 6d$

Перенесем 36 в левую часть:

$-6 - 36 = 6d$

$-42 = 6d$

Отсюда находим разность $d$:

$d = \frac{-42}{6} = -7$

Ответ: $a_1 = 36$, $d = -7$.

б) Решаем аналогично, используя данные $S_{15} = 121,5$ и $a_{15} = 11,6$.

Сначала найдем $a_1$ из формулы суммы $S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15$:

$121,5 = \frac{a_1 + 11,6}{2} \cdot 15$

Разделим обе части уравнения на 15:

$\frac{121,5}{15} = \frac{a_1 + 11,6}{2}$

$8,1 = \frac{a_1 + 11,6}{2}$

Умножим обе части на 2:

$16,2 = a_1 + 11,6$

Отсюда находим первый член прогрессии $a_1$:

$a_1 = 16,2 - 11,6 = 4,6$

Теперь найдем разность $d$ по формуле $n$-го члена $a_{15} = a_1 + (15-1)d$.

Подставим известные значения $a_{15} = 11,6$ и $a_1 = 4,6$:

$11,6 = 4,6 + 14d$

Перенесем 4,6 в левую часть:

$11,6 - 4,6 = 14d$

$7 = 14d$

Отсюда находим разность $d$:

$d = \frac{7}{14} = 0,5$

Ответ: $a_1 = 4,6$, $d = 0,5$.