Номер 391, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 391, страница 115.

Условие.

391. a) Пятый член арифметической прогрессии равен 12. При каком значении ее разности $d$ произведение третьего и восьмого членов будет наибольшим?

б) Седьмой член арифметической прогрессии ($a_n$) равен 10. При каком значении ее разности $d$ выражение $a_9(a_4 + a_{12})$ принимает наименьшее значение?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Пусть $a_n$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$. По условию, пятый член прогрессии равен 12, то есть $a_5 = 12$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии позволяет выразить любой член прогрессии через другой известный член. Воспользуемся формулой $a_n = a_k + (n-k)d$ для выражения членов $a_3$ и $a_8$ через $a_5$:

$a_3 = a_5 + (3-5)d = 12 - 2d$

$a_8 = a_5 + (8-5)d = 12 + 3d$

Нам необходимо найти значение $d$, при котором произведение $a_3 \cdot a_8$ будет наибольшим. Составим функцию этого произведения в зависимости от $d$:

$P(d) = a_3 \cdot a_8 = (12 - 2d)(12 + 3d)$

Раскроем скобки, чтобы получить квадратичную функцию:

$P(d) = 144 + 36d - 24d - 6d^2 = -6d^2 + 12d + 144$

Полученная функция $P(d)$ является квадратичной параболой. Так как коэффициент при $d^2$ отрицателен ($-6 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = -6$ и $b = 12$. Найдем значение $d$, соответствующее вершине:

$d = -\frac{12}{2 \cdot (-6)} = -\frac{12}{-12} = 1$

Следовательно, произведение третьего и восьмого членов будет наибольшим при значении разности $d=1$.

Ответ: $d = 1$.

б)

По условию, седьмой член арифметической прогрессии $(a_n)$ равен 10, то есть $a_7 = 10$. Нам нужно найти значение разности $d$, при котором выражение $a_9(a_4 + a_{12})$ принимает наименьшее значение.

Выразим члены $a_4$, $a_9$ и $a_{12}$ через $a_7$ и разность $d$, используя формулу $a_n = a_k + (n-k)d$:

$a_4 = a_7 + (4-7)d = 10 - 3d$

$a_9 = a_7 + (9-7)d = 10 + 2d$

$a_{12} = a_7 + (12-7)d = 10 + 5d$

Теперь подставим эти выражения в искомое выражение, обозначив его как функцию $E(d)$:

$E(d) = a_9(a_4 + a_{12}) = (10 + 2d)((10 - 3d) + (10 + 5d))$

Сначала упростим сумму в скобках:

$a_4 + a_{12} = 20 - 3d + 5d = 20 + 2d$

Теперь подставим результат обратно в $E(d)$ и раскроем скобки:

$E(d) = (10 + 2d)(20 + 2d) = 200 + 20d + 40d + 4d^2 = 4d^2 + 60d + 200$

Полученная функция $E(d)$ является квадратичной параболой. Так как коэффициент при $d^2$ положителен ($4 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = 4$ и $b = 60$. Найдем значение $d$, соответствующее вершине:

$d = -\frac{60}{2 \cdot 4} = -\frac{60}{8} = -\frac{15}{2} = -7.5$

Следовательно, данное выражение принимает наименьшее значение при $d = -7.5$.

Ответ: $d = -7.5$.