Номер 391, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.

Тип: Учебник

Издательство: Кокшетау

Год издания: 2019 - 2025

Цвет обложки:

ISBN: 978-601-317-424-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан

Популярные ГДЗ в 9 классе

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 391, страница 115.

№391 (с. 115)
Условие. №391 (с. 115)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 115, номер 391, Условие

391. a) Пятый член арифметической прогрессии равен 12. При каком значении ее разности $d$ произведение третьего и восьмого членов будет наибольшим?

б) Седьмой член арифметической прогрессии ($a_n$) равен 10. При каком значении ее разности $d$ выражение $a_9(a_4 + a_{12})$ принимает наименьшее значение?

Решение. №391 (с. 115)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 115, номер 391, Решение Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 115, номер 391, Решение (продолжение 2)
Решение 2 (rus). №391 (с. 115)

а)

Пусть $a_n$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$. По условию, пятый член прогрессии равен 12, то есть $a_5 = 12$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии позволяет выразить любой член прогрессии через другой известный член. Воспользуемся формулой $a_n = a_k + (n-k)d$ для выражения членов $a_3$ и $a_8$ через $a_5$:

$a_3 = a_5 + (3-5)d = 12 - 2d$

$a_8 = a_5 + (8-5)d = 12 + 3d$

Нам необходимо найти значение $d$, при котором произведение $a_3 \cdot a_8$ будет наибольшим. Составим функцию этого произведения в зависимости от $d$:

$P(d) = a_3 \cdot a_8 = (12 - 2d)(12 + 3d)$

Раскроем скобки, чтобы получить квадратичную функцию:

$P(d) = 144 + 36d - 24d - 6d^2 = -6d^2 + 12d + 144$

Полученная функция $P(d)$ является квадратичной параболой. Так как коэффициент при $d^2$ отрицателен ($-6 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = -6$ и $b = 12$. Найдем значение $d$, соответствующее вершине:

$d = -\frac{12}{2 \cdot (-6)} = -\frac{12}{-12} = 1$

Следовательно, произведение третьего и восьмого членов будет наибольшим при значении разности $d=1$.

Ответ: $d = 1$.

б)

По условию, седьмой член арифметической прогрессии $(a_n)$ равен 10, то есть $a_7 = 10$. Нам нужно найти значение разности $d$, при котором выражение $a_9(a_4 + a_{12})$ принимает наименьшее значение.

Выразим члены $a_4$, $a_9$ и $a_{12}$ через $a_7$ и разность $d$, используя формулу $a_n = a_k + (n-k)d$:

$a_4 = a_7 + (4-7)d = 10 - 3d$

$a_9 = a_7 + (9-7)d = 10 + 2d$

$a_{12} = a_7 + (12-7)d = 10 + 5d$

Теперь подставим эти выражения в искомое выражение, обозначив его как функцию $E(d)$:

$E(d) = a_9(a_4 + a_{12}) = (10 + 2d)((10 - 3d) + (10 + 5d))$

Сначала упростим сумму в скобках:

$a_4 + a_{12} = 20 - 3d + 5d = 20 + 2d$

Теперь подставим результат обратно в $E(d)$ и раскроем скобки:

$E(d) = (10 + 2d)(20 + 2d) = 200 + 20d + 40d + 4d^2 = 4d^2 + 60d + 200$

Полученная функция $E(d)$ является квадратичной параболой. Так как коэффициент при $d^2$ положителен ($4 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = 4$ и $b = 60$. Найдем значение $d$, соответствующее вершине:

$d = -\frac{60}{2 \cdot 4} = -\frac{60}{8} = -\frac{15}{2} = -7.5$

Следовательно, данное выражение принимает наименьшее значение при $d = -7.5$.

Ответ: $d = -7.5$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 391 расположенного на странице 115 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №391 (с. 115), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.