Номер 384, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 384, страница 114.

Условие.

384. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $a_n$, если:

а) $a_2 + a_4 + a_6 = 18$ и $a_2 \cdot a_4 \cdot a_6 = 120;$

б) $a_1 + a_2 + a_3 = -12$ и $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 98.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Даны условия для арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_2 + a_4 + a_6 = 18$ и $a_2 \cdot a_4 \cdot a_6 = 120$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. Выразим члены $a_2, a_4, a_6$ через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в первое уравнение:

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 18$

$3a_1 + 9d = 18$

Разделив обе части на 3, получим: $a_1 + 3d = 6$.

Левая часть этого уравнения, $a_1 + 3d$, является формулой для $a_4$, следовательно, $a_4 = 6$.

Теперь подставим $a_4 = 6$ во второе уравнение:

$a_2 \cdot 6 \cdot a_6 = 120$, откуда $a_2 \cdot a_6 = 20$.

Выразим $a_2$ и $a_6$ через $a_4$ и $d$:

$a_2 = a_4 - 2d = 6 - 2d$

$a_6 = a_4 + 2d = 6 + 2d$

Подставим эти выражения в уравнение $a_2 \cdot a_6 = 20$:

$(6 - 2d)(6 + 2d) = 20$

$36 - 4d^2 = 20$

$4d^2 = 16$

$d^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для разности: $d = 2$ и $d = -2$.

Теперь найдем $a_1$ для каждого значения $d$, используя уравнение $a_1 = 6 - 3d$.

1. Если $d = 2$, то $a_1 = 6 - 3(2) = 0$.

2. Если $d = -2$, то $a_1 = 6 - 3(-2) = 12$.

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: $a_1 = 0, d = 2$ или $a_1 = 12, d = -2$.

б)

Даны условия: $a_1 + a_2 + a_3 = -12$ и $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 98$.

Выразим члены прогрессии $a_2$ и $a_3$ через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_1 + 2d$

Подставим в первое уравнение:

$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = -12$

$3a_1 + 3d = -12$

Разделив обе части на 3, получим: $a_1 + d = -4$.

Левая часть этого уравнения, $a_1 + d$, является формулой для $a_2$, следовательно, $a_2 = -4$.

Теперь выразим $a_1$ и $a_3$ через $a_2$ и $d$:

$a_1 = a_2 - d = -4 - d$

$a_3 = a_2 + d = -4 + d$

Подставим эти выражения и значение $a_2 = -4$ во второе уравнение:

$(-4 - d)^2 + (-4)^2 + (-4 + d)^2 = 98$

Раскроем скобки и упростим:

$(16 + 8d + d^2) + 16 + (16 - 8d + d^2) = 98$

$48 + 2d^2 = 98$

$2d^2 = 50$

$d^2 = 25$

Отсюда получаем два возможных значения для разности: $d = 5$ и $d = -5$.

Найдем $a_1$ для каждого случая, используя $a_1 = -4 - d$.

1. Если $d = 5$, то $a_1 = -4 - 5 = -9$.

2. Если $d = -5$, то $a_1 = -4 - (-5) = 1$.

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: $a_1 = -9, d = 5$ или $a_1 = 1, d = -5$.