Номер 380, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 380, страница 114.

Условие.

380. Докажите, что если последовательность $(a_n)$ – арифметическая прогрессия, то:

a) $a_1 + a_{14} = a_6 + a_9$

б) $a_{11} + a_{23} = a_5 + a_{29}$

381. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ содержит только

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

а)Требуется доказать, что $a_1 + a_{14} = a_6 + a_9$.
Преобразуем левую часть равенства, выразив $a_{14}$ через $a_1$ и $d$:
$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$.
Следовательно, левая часть равна:
$a_1 + a_{14} = a_1 + (a_1 + 13d) = 2a_1 + 13d$.
Теперь преобразуем правую часть равенства, выразив $a_6$ и $a_9$ через $a_1$ и $d$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$.
$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$.
Следовательно, правая часть равна:
$a_6 + a_9 = (a_1 + 5d) + (a_1 + 8d) = 2a_1 + 13d$.
Левая и правая части равенства равны ($2a_1 + 13d = 2a_1 + 13d$), значит, равенство верно.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б)Требуется доказать, что $a_{11} + a_{23} = a_5 + a_{29}$.
Действуем аналогично предыдущему пункту. Преобразуем левую часть равенства, выразив $a_{11}$ и $a_{23}$ через $a_1$ и $d$:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$.
$a_{23} = a_1 + (23-1)d = a_1 + 22d$.
Следовательно, левая часть равна:
$a_{11} + a_{23} = (a_1 + 10d) + (a_1 + 22d) = 2a_1 + 32d$.
Теперь преобразуем правую часть равенства, выразив $a_5$ и $a_{29}$ через $a_1$ и $d$:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$.
$a_{29} = a_1 + (29-1)d = a_1 + 28d$.
Следовательно, правая часть равна:
$a_5 + a_{29} = (a_1 + 4d) + (a_1 + 28d) = 2a_1 + 32d$.
Левая и правая части равенства равны ($2a_1 + 32d = 2a_1 + 32d$), значит, равенство верно.
Ответ: Что и требовалось доказать.