Номер 375, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 375, страница 113.

Условие.

375. Назовите первый член и разность арифметической прогрессии ($a_n$), заданной формулой:

а) $a_n = -3n + 1;$

б) $a_n = 4n - 0,5;$

в) $a_n = \frac{1}{2}n + \frac{3}{2};$

г) $a_n = -\frac{3}{4}n - 5.$

Какая из этих последовательностей: 1) возрастающая; 2) убывающая?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для каждой арифметической прогрессии, заданной формулой $n$-го члена, найдем ее первый член $a_1$ и разность $d$.

а) Рассматриваем арифметическую прогрессию, заданную формулой $a_n = -3n + 1$.

Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$, подставим в формулу значение $n=1$:

$a_1 = -3 \cdot 1 + 1 = -3 + 1 = -2$.

Разность арифметической прогрессии $d$ для прогрессии, заданной в виде линейной функции от $n$ ($a_n = kn+b$), равна коэффициенту $k$ при $n$. В данном случае $k=-3$, поэтому разность прогрессии $d=-3$.

Ответ: первый член $a_1 = -2$, разность $d = -3$.

б) Рассматриваем арифметическую прогрессию, заданную формулой $a_n = 4n - 0,5$.

Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$, подставим в формулу значение $n=1$:

$a_1 = 4 \cdot 1 - 0,5 = 4 - 0,5 = 3,5$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна коэффициенту при $n$. В данном случае $d=4$.

Ответ: первый член $a_1 = 3,5$, разность $d = 4$.

в) Рассматриваем арифметическую прогрессию, заданную формулой $a_n = \frac{1}{2}n + \frac{3}{2}$.

Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$, подставим в формулу значение $n=1$:

$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна коэффициенту при $n$. В данном случае $d=\frac{1}{2}$.

Ответ: первый член $a_1 = 2$, разность $d = \frac{1}{2}$.

г) Рассматриваем арифметическую прогрессию, заданную формулой $a_n = -\frac{3}{4}n - 5$.

Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$, подставим в формулу значение $n=1$:

$a_1 = -\frac{3}{4} \cdot 1 - 5 = -\frac{3}{4} - \frac{20}{4} = -\frac{23}{4} = -5,75$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна коэффициенту при $n$. В данном случае $d=-\frac{3}{4}$.

Ответ: первый член $a_1 = -5,75$, разность $d = -\frac{3}{4}$.

Теперь определим, какие из этих последовательностей являются возрастающими, а какие - убывающими.

Арифметическая прогрессия является возрастающей, если ее разность $d > 0$.

Арифметическая прогрессия является убывающей, если ее разность $d < 0$.

Проанализируем найденные разности для каждой последовательности:

• а) $d = -3$, так как $d < 0$, последовательность является убывающей.
• б) $d = 4$, так как $d > 0$, последовательность является возрастающей.
• в) $d = \frac{1}{2}$, так как $d > 0$, последовательность является возрастающей.
• г) $d = -\frac{3}{4}$, так как $d < 0$, последовательность является убывающей.

Ответ:

1) Возрастающие последовательности: б), в).

2) Убывающие последовательности: а), г).