Номер 381, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 381, страница 114.

Условие.

381. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ состоит из двенадцати членов, причем $a_1 = -2,4$ и $d = 0,4$. Найдите сумму:

а) первого и последнего членов;

б) второго и предпоследнего членов;

в) четвертого члена с начала и четвертого от конца;

г) двух средних членов;

д) сделайте вывод, как можно найти сумму всех 12 членов этой прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) первого и последнего членов;

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ из $n=12$ членов, где первый член $a_1 = -2,4$ и разность $d = 0,4$.Требуется найти сумму первого ($a_1$) и последнего ($a_{12}$) членов.Сначала найдем последний, двенадцатый член прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
Подставим известные значения:
$a_{12} = -2,4 + 11 \times 0,4 = -2,4 + 4,4 = 2$
Теперь вычислим сумму первого и последнего членов:
$a_1 + a_{12} = -2,4 + 2 = -0,4$
Ответ: -0,4.

б) второго и предпоследнего членов;

Второй член прогрессии - это $a_2$. Поскольку всего 12 членов, предпоследний член - это $a_{11}$. Требуется найти сумму $a_2 + a_{11}$.
Согласно свойству арифметической прогрессии, сумма членов, равноудаленных от концов, постоянна и равна сумме первого и последнего членов: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.
В нашем случае для $k=2$ и $n=12$:
$a_2 + a_{12-2+1} = a_2 + a_{11} = a_1 + a_{12}$
Из предыдущего пункта мы знаем, что $a_1 + a_{12} = -0,4$.
Следовательно, $a_2 + a_{11} = -0,4$.
Для проверки можно вычислить $a_2$ и $a_{11}$ напрямую:
$a_2 = a_1 + d = -2,4 + 0,4 = -2,0$
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = -2,4 + 10 \times 0,4 = -2,4 + 4 = 1,6$
$a_2 + a_{11} = -2,0 + 1,6 = -0,4$
Ответ: -0,4.

в) четвертого члена с начала и четвертого от конца;

Четвертый член с начала - это $a_4$. Четвертый член от конца в прогрессии из 12 членов - это член с номером $12 - 4 + 1 = 9$, то есть $a_9$. Требуется найти сумму $a_4 + a_9$.
Используя то же свойство для $k=4$:
$a_4 + a_{12-4+1} = a_4 + a_9 = a_1 + a_{12}$
Так как $a_1 + a_{12} = -0,4$, то и $a_4 + a_9 = -0,4$.
Проверим прямым вычислением:
$a_4 = a_1 + 3d = -2,4 + 3 \times 0,4 = -2,4 + 1,2 = -1,2$
$a_9 = a_1 + 8d = -2,4 + 8 \times 0,4 = -2,4 + 3,2 = 0,8$
$a_4 + a_9 = -1,2 + 0,8 = -0,4$
Ответ: -0,4.

г) двух средних членов;

В прогрессии 12 членов (четное число), поэтому средними являются два члена: шестой ($a_6$) и седьмой ($a_7$). Требуется найти их сумму $a_6 + a_7$.
Эти два члена также равноудалены от концов: $a_6$ является шестым с начала, а $a_7$ является шестым с конца ($12 - 6 + 1 = 7$).
Следовательно, их сумма также равна сумме первого и последнего членов:
$a_6 + a_7 = a_1 + a_{12} = -0,4$
Проверим прямым вычислением:
$a_6 = a_1 + 5d = -2,4 + 5 \times 0,4 = -2,4 + 2,0 = -0,4$
$a_7 = a_1 + 6d = -2,4 + 6 \times 0,4 = -2,4 + 2,4 = 0$
$a_6 + a_7 = -0,4 + 0 = -0,4$
Ответ: -0,4.

д) сделайте вывод, как можно найти сумму всех 12 членов этой прогрессии.

Из предыдущих пунктов мы установили, что сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, является постоянной величиной и равна $-0,4$.
$a_1 + a_{12} = a_2 + a_{11} = a_3 + a_{10} = a_4 + a_9 = a_5 + a_8 = a_6 + a_7 = -0,4$.
Всего в прогрессии 12 членов. Их можно разбить на $12 / 2 = 6$ пар, сумма членов в каждой из которых равна $-0,4$.
Сумма всех 12 членов прогрессии ($S_{12}$) равна сумме этих 6 пар. Чтобы ее найти, нужно умножить сумму одной пары на количество пар:
$S_{12} = (a_1 + a_{12}) \times 6 = -0,4 \times 6 = -2,4$.
Вывод: для нахождения суммы всех 12 членов прогрессии необходимо сумму первого и последнего членов умножить на половину количества членов. Этот метод обобщается в известную формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n$.
Ответ: Чтобы найти сумму всех 12 членов, нужно сумму первого и последнего членов ($a_1+a_{12}$) умножить на количество пар таких членов, то есть на 6. Сумма равна $S_{12} = (a_1+a_{12}) \times 6 = -0,4 \times 6 = -2,4$.