Номер 382, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 382, страница 114.

Условие.

382. Найдите первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 + a_4 = 16, a_2 \cdot a_3 = 60.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, для которой выполняются два условия:

1) $a_1 + a_4 = 16$

2) $a_2 \cdot a_3 = 60$

Воспользуемся свойством арифметической прогрессии, согласно которому сумма членов, равноудаленных от концов, постоянна. В частности, для первых четырех членов имеем $a_1 + a_4 = a_2 + a_3$.

Используя первое условие, получаем, что $a_2 + a_3 = 16$.

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения $a_2$ и $a_3$:

$\begin{cases} a_2 + a_3 = 16 \\ a_2 \cdot a_3 = 60 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $a_2$ и $a_3$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 16t + 60 = 0$.

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{16}}{2} = \frac{16 + 4}{2} = 10$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{16}}{2} = \frac{16 - 4}{2} = 6$.

Таким образом, возможны два случая:

1. $a_2 = 6$ и $a_3 = 10$.
В этом случае разность прогрессии $d = a_3 - a_2 = 10 - 6 = 4$.
Первый член прогрессии $a_1$ находится из соотношения $a_2 = a_1 + d$:
$6 = a_1 + 4$, откуда $a_1 = 2$.

2. $a_2 = 10$ и $a_3 = 6$.
В этом случае разность прогрессии $d = a_3 - a_2 = 6 - 10 = -4$.
Первый член прогрессии $a_1$ находится из соотношения $a_2 = a_1 + d$:
$10 = a_1 + (-4)$, откуда $a_1 = 14$.

Оба полученных значения для $a_1$ удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 2 или 14.