Номер 389, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 389, страница 115.

Условие.

389. Найдите трехзначное число, если его цифры образуют арифметическую прогрессию и оно делится на 45.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомое трехзначное число состоит из цифр a, b и c, где a — цифра сотен, b — цифра десятков, c — цифра единиц. Число можно записать как $100a + 10b + c$.

Согласно условию, число делится на 45. Это означает, что оно должно делиться одновременно на 5 и на 9, так как $45 = 5 \times 9$ и числа 5 и 9 взаимно простые.

1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Следовательно, последняя цифра $c$ может быть равна 0 или 5.

2. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9. То есть, $a + b + c$ должно быть кратно 9.

3. Арифметическая прогрессия: цифры a, b, c образуют арифметическую прогрессию. Для любой арифметической прогрессии из трех членов средний член равен полусумме крайних. Таким образом, $b = \frac{a+c}{2}$, или $a + c = 2b$.

Теперь объединим условия. Подставим выражение для $a+c$ из условия арифметической прогрессии в условие делимости на 9:

Сумма цифр: $a + b + c = (a + c) + b = 2b + b = 3b$.

Так как сумма цифр $a+b+c$ делится на 9, то и $3b$ должно делиться на 9. Это возможно только если сама цифра b делится на 3. Учитывая, что b — это цифра, возможные значения для b: 0, 3, 6, 9.

Рассмотрим два случая для последней цифры c.

Случай 1: $c = 0$

Из свойства прогрессии $a + c = 2b$ получаем $a + 0 = 2b$, то есть $a = 2b$.

• Если $b=0$, то $a=0$. Это невозможно, так как число трехзначное и первая цифра не может быть нулем.
• Если $b=3$, то $a=2 \times 3 = 6$. Цифры числа: 6, 3, 0. Проверяем: это арифметическая прогрессия с разностью -3. Сумма цифр $6+3+0=9$, что делится на 9. Число 630 оканчивается на 0, значит, делится на 5. Следовательно, 630 делится на 45. Это один из ответов.
• Если $b=6$, то $a=2 \times 6 = 12$. Это не цифра, так что этот вариант не подходит.
• Если $b=9$, то $a=2 \times 9 = 18$. Также не цифра.

Случай 2: $c = 5$

Из свойства прогрессии $a + c = 2b$ получаем $a + 5 = 2b$, то есть $a = 2b - 5$.

• Если $b=0$, то $a = 2 \times 0 - 5 = -5$. Невозможно.
• Если $b=3$, то $a = 2 \times 3 - 5 = 1$. Цифры числа: 1, 3, 5. Это арифметическая прогрессия с разностью 2. Сумма цифр $1+3+5=9$, что делится на 9. Число 135 оканчивается на 5, значит, делится на 5. Следовательно, 135 делится на 45. Это второй ответ.
• Если $b=6$, то $a = 2 \times 6 - 5 = 7$. Цифры числа: 7, 6, 5. Это арифметическая прогрессия с разностью -1. Сумма цифр $7+6+5=18$, что делится на 9. Число 765 оканчивается на 5, значит, делится на 5. Следовательно, 765 делится на 45. Это третий ответ.
• Если $b=9$, то $a = 2 \times 9 - 5 = 13$. Это не цифра, вариант не подходит.

Таким образом, мы нашли три числа, удовлетворяющих всем условиям задачи.

Ответ: 135, 630, 765.