Номер 390, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 390, страница 115.

Условие.

390. a) Найдите стороны прямоугольного треугольника, если они образуют арифметическую прогрессию.

б) Катер, отходя от станции, равномерно увеличивал скорость, которая через 20 минут стала равной 60 км/ч. Найдите $ (\text{м}/\text{мин}^2) $ ускорение катера.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Обозначим их как $a_1$, $a_2$, $a_3$. Так как стороны должны быть положительными, а в прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, мы можем представить эти стороны в порядке возрастания. Пусть разность прогрессии равна $d > 0$, а средний член равен $x$. Тогда стороны треугольника можно записать как $x-d$, $x$ и $x+d$. Для того чтобы все стороны были положительными, необходимо условие $x > d$.

Самая длинная сторона, $x+d$, является гипотенузой, а две другие, $x-d$ и $x$, — катетами. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$(x-d)^2 + x^2 = (x+d)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2xd + d^2 + x^2 = x^2 + 2xd + d^2$

Приведем подобные члены. Члены $x^2$ и $d^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:

$x^2 - 2xd = 2xd$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 4xd = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 4d) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x = 0$ или $x - 4d = 0$. Так как $x$ — это длина стороны треугольника, она не может быть равна нулю. Следовательно, мы выбираем второй корень:

$x = 4d$

Теперь, когда мы нашли соотношение между средним членом и разностью прогрессии, мы можем выразить длины всех сторон через $d$:

Первый катет: $x-d = 4d - d = 3d$

Второй катет: $x = 4d$

Гипотенуза: $x+d = 4d + d = 5d$

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника относятся как $3d:4d:5d$, или 3:4:5. Это означает, что любой треугольник, стороны которого образуют арифметическую прогрессию, подобен египетскому треугольнику со сторонами 3, 4, 5. Конкретные значения сторон зависят от значения $d$, которое может быть любым положительным числом.

Ответ: Стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5 (например, их можно выразить как $3k, 4k, 5k$ при любом $k > 0$).

б) Ускорение — это изменение скорости за единицу времени. Движение катера равноускоренное. Формула для ускорения $a$ выглядит так:

$a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v_к - v_н}{t}$

где $v_к$ — конечная скорость, $v_н$ — начальная скорость, $t$ — время.

По условию задачи:

Начальная скорость $v_н = 0$, так как катер отходит от станции.

Конечная скорость $v_к = 60$ км/ч.

Время $t = 20$ минут.

Требуется найти ускорение в м/мин². Для этого необходимо привести все величины к соответствующим единицам измерения: скорость в метрах в минуту (м/мин) и время в минутах (мин).

Время уже дано в минутах: $t = 20$ мин.

Переведем конечную скорость из км/ч в м/мин:

1 км = 1000 м

1 час = 60 мин

$v_к = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \times \frac{1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{60000}{60} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 1000 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Теперь подставим значения в формулу для ускорения:

$a = \frac{1000 \text{ м/мин} - 0 \text{ м/мин}}{20 \text{ мин}} = \frac{1000}{20} \frac{\text{м}}{\text{мин}^2} = 50 \frac{\text{м}}{\text{мин}^2}$

Ответ: Ускорение катера равно 50 м/мин².