Номер 396, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 396, страница 118.

Условие.

396. Дана арифметическая прогрессия ($a_n$). Заполните таблицу:

$a_1$ $d$ $n$ $a_n$ $S_n$

a) 7 3 20

б) 8 7 14

в) 2 12 72

г) 3 20 77

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дано: $a_1 = 7$, $a_n = 3$, $S_n = 20$. Необходимо найти $n$ и $d$.
Для нахождения числа членов прогрессии $n$ воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения:
$20 = \frac{7 + 3}{2} \cdot n$
$20 = \frac{10}{2} \cdot n$
$20 = 5n$
$n = \frac{20}{5} = 4$
Теперь, зная, что $n=4$, найдем разность прогрессии $d$ по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Так как $n=4$, то $a_n = a_4 = 3$.
$3 = 7 + (4-1)d$
$3 = 7 + 3d$
$3d = 3 - 7$
$3d = -4$
$d = -\frac{4}{3}$
Ответ: $n=4$, $d = -1\frac{1}{3}$.

б) Дано: $a_1 = 8$, $n = 7$, $S_n = 14$. Необходимо найти $a_n$ (т.е. $a_7$) и $d$.
Для нахождения $a_7$ воспользуемся формулой суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$14 = \frac{8 + a_7}{2} \cdot 7$
Разделим обе части на 7:
$2 = \frac{8 + a_7}{2}$
Умножим обе части на 2:
$4 = 8 + a_7$
$a_7 = 4 - 8 = -4$
Теперь найдем разность $d$ по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$-4 = 8 + (7-1)d$
$-4 = 8 + 6d$
$6d = -4 - 8$
$6d = -12$
$d = \frac{-12}{6} = -2$
Ответ: $a_7=-4$, $d = -2$.

в) Дано: $d = 2$, $n = 12$, $S_n = 72$. Необходимо найти $a_1$ и $a_n$ (т.е. $a_{12}$).
Для нахождения $a_1$ воспользуемся второй формулой суммы: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
$72 = \frac{2a_1 + (12-1) \cdot 2}{2} \cdot 12$
$72 = (2a_1 + 11 \cdot 2) \cdot 6$
Разделим обе части на 6:
$12 = 2a_1 + 22$
$2a_1 = 12 - 22$
$2a_1 = -10$
$a_1 = -5$
Теперь найдем $a_{12}$ по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_{12} = -5 + (12-1) \cdot 2$
$a_{12} = -5 + 11 \cdot 2$
$a_{12} = -5 + 22 = 17$
Ответ: $a_1=-5$, $a_{12}=17$.

г) Дано: $d = 3$, $a_n = 20$, $S_n = 77$. Необходимо найти $a_1$ и $n$.
Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a_1$ и $n$:
1) $a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 20 = a_1 + (n-1) \cdot 3$
2) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \Rightarrow 77 = \frac{a_1 + 20}{2} \cdot n$
Из первого уравнения выразим $a_1$:
$20 = a_1 + 3n - 3 \Rightarrow a_1 = 23 - 3n$
Подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение:
$77 = \frac{(23 - 3n) + 20}{2} \cdot n$
$77 = \frac{43 - 3n}{2} \cdot n$
$154 = (43 - 3n) \cdot n$
$154 = 43n - 3n^2$
$3n^2 - 43n + 154 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-43)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 154 = 1849 - 1848 = 1$
Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{43 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{43 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7$
Так как $n$ (число членов прогрессии) должно быть натуральным числом, нам подходит только $n=7$.
Теперь найдем $a_1$, подставив $n=7$ в выражение $a_1 = 23 - 3n$:
$a_1 = 23 - 3 \cdot 7 = 23 - 21 = 2$
Ответ: $a_1=2$, $n=7$.