Номер 394, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 394, страница 118.

Условие.

Рисунок 39

394. Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду $1$ шар, во втором – $2$, в третьем – $3$ и т. д. (рисунок 39).

а) Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 55?

б) Сколько потребуется шаров, чтобы составить треугольник из 15 рядов?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Количество шаров в каждом ряду представляет собой арифметическую прогрессию: в первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3, и так далее. Таким образом, в $n$-м ряду находится $n$ шаров. Общее количество шаров $S_n$ для $n$ рядов является суммой первых $n$ натуральных чисел. Эта сумма вычисляется по формуле: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ По условию задачи, общее число шаров равно 55. Нам нужно найти количество рядов $n$. Подставим известное значение в формулу: $\frac{n(n+1)}{2} = 55$ Умножим обе части уравнения на 2: $n(n+1) = 110$ Получаем квадратное уравнение: $n^2 + n - 110 = 0$ Решим это уравнение. Можно найти два последовательных числа, произведение которых равно 110. Это числа 10 и 11. Следовательно, $n=10$. Либо можно решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$ $\sqrt{D} = 21$ $n_1 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $n_2 = \frac{-1 - 21}{2} = -11$ Поскольку количество рядов не может быть отрицательным числом, правильный ответ $n=10$.
Ответ: 10 рядов.

б) Чтобы определить, сколько шаров потребуется для треугольника из 15 рядов, воспользуемся той же формулой для суммы $S_n$, подставив в нее $n=15$: $S_{15} = \frac{15(15+1)}{2}$ $S_{15} = \frac{15 \cdot 16}{2}$ $S_{15} = 15 \cdot 8$ $S_{15} = 120$ Следовательно, для того чтобы составить треугольник из 15 рядов, потребуется 120 шаров.
Ответ: 120 шаров.