Номер 392, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - номер 392, страница 118.

Условие.

392. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии ($a_n$), если:

а) $a_1 = 5, a_{10} = 15;$

б) $a_1 = 0.5, a_4 = 9.5;$

в) $a_5 + a_6 = -15.2;$

г) $a_4 = 10, a_7 = 19.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения суммы первых десяти членов арифметической прогрессии ($S_{10}$) воспользуемся формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

По условию дано $a_1 = 5$ и $a_{10} = 15$. Подставляем известные значения в формулу при $n = 10$:

$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{5 + 15}{2} \cdot 10 = \frac{20}{2} \cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100$.

Ответ: 100.

б) Для нахождения суммы $S_{10}$ используем формулу $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. Для этого нам нужно найти разность прогрессии $d$.

По условию $a_1 = 0,5$ и $a_4 = 9,5$. Воспользуемся формулой n-го члена прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для $n=4$: $a_4 = a_1 + (4-1)d$.

$9,5 = 0,5 + 3d$.

Решаем уравнение относительно $d$:

$3d = 9,5 - 0,5$

$3d = 9$

$d = 3$.

Теперь, зная $a_1=0,5$ и $d=3$, вычисляем сумму первых десяти членов:

$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 0,5 + 3 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{1 + 27}{2} \cdot 10 = \frac{28}{2} \cdot 10 = 14 \cdot 10 = 140$.

Ответ: 140.

в) Формула для суммы первых десяти членов: $S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10$.

По условию известно, что $a_5 + a_6 = -15,2$. Выразим $a_5$ и $a_6$ через первый член $a_1$ и разность $d$ с помощью формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$.

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$.

Сложим эти два выражения:

$a_5 + a_6 = (a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) = 2a_1 + 9d$.

Так как $a_5 + a_6 = -15,2$, то мы получаем, что $2a_1 + 9d = -15,2$.

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для $S_{10}$:

$S_{10} = \frac{-15,2}{2} \cdot 10 = -7,6 \cdot 10 = -76$.

Ответ: -76.

г) По условию даны $a_4 = 10$ и $a_7 = 19$. Чтобы найти $S_{10}$, сначала определим $a_1$ и $d$.

Используем формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ и составим систему из двух уравнений:

$a_4 = a_1 + (4-1)d \Rightarrow a_1 + 3d = 10$.

$a_7 = a_1 + (7-1)d \Rightarrow a_1 + 6d = 19$.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(a_1 + 6d) - (a_1 + 3d) = 19 - 10$

$3d = 9$

$d = 3$.

Подставим значение $d=3$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 3 \cdot 3 = 10 \Rightarrow a_1 + 9 = 10 \Rightarrow a_1 = 1$.

Теперь, зная $a_1=1$ и $d=3$, вычислим $S_{10}$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 + 3 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{2 + 27}{2} \cdot 10 = \frac{29}{2} \cdot 10 = 14,5 \cdot 10 = 145$.

Ответ: 145.