Номер 386, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 386, страница 115.

Условие.

386. Докажите, что последовательность, заданная формулой: а) $a_n = 7 - 3n$; б) $b_n = 4n - 5$, является арифметической прогрессией.

Какая из них является: 1) возрастающей; 2) убывающей последовательностью?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Чтобы доказать, что последовательность, заданная формулой $a_n = 7 - 3n$, является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любым её последующим и предыдущим членом является постоянной величиной. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии ($d$).

Найдём $(n+1)$-й член последовательности, подставив $(n+1)$ вместо $n$ в формулу:

$a_{n+1} = 7 - 3(n+1) = 7 - 3n - 3 = 4 - 3n$.

Теперь найдём разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = (4 - 3n) - (7 - 3n) = 4 - 3n - 7 + 3n = -3$.

Поскольку разность $d = -3$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), последовательность является арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия является убывающей, если её разность $d < 0$, и возрастающей, если $d > 0$. В данном случае $d = -3 < 0$, следовательно, последовательность является убывающей.

Ответ: последовательность $a_n = 7 - 3n$ является убывающей арифметической прогрессией.

б)

Аналогично докажем для последовательности, заданной формулой $b_n = 4n - 5$.

Найдём $(n+1)$-й член последовательности:

$b_{n+1} = 4(n+1) - 5 = 4n + 4 - 5 = 4n - 1$.

Теперь найдём разность $d = b_{n+1} - b_n$:

$d = (4n - 1) - (4n - 5) = 4n - 1 - 4n + 5 = 4$.

Поскольку разность $d = 4$ является постоянной величиной, последовательность является арифметической прогрессией.

Так как разность $d = 4 > 0$, последовательность является возрастающей.

Ответ: последовательность $b_n = 4n - 5$ является возрастающей арифметической прогрессией.