Номер 383, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 383, страница 114.

Условие.

383. a) В арифметической прогрессии семь членов. Найдите их сумму, если четвертый член равен 21.

б) Найдите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, пятый член которой равен -2.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии ($a_n$) используется формула $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
В данной задаче количество членов $n = 7$, и известен четвертый член $a_4 = 21$.
Для арифметической прогрессии с нечетным числом членов существует полезное свойство: сумма всех членов равна произведению количества членов на средний (серединный) член.
В прогрессии из 7 членов средним является четвертый член, $a_4$, поскольку до него и после него находится одинаковое количество членов (по три).
Следовательно, сумму семи членов можно вычислить по формуле: $S_7 = 7 \cdot a_4$.
Подставим известное значение $a_4 = 21$:
$S_7 = 7 \cdot 21 = 147$.

Докажем это свойство, используя стандартные формулы.Сумма $S_7 = \frac{a_1 + a_7}{2} \cdot 7$.Члены $a_1$ и $a_7$ симметричны относительно $a_4$. Их можно выразить через $a_4$ и разность прогрессии $d$:
$a_1 = a_4 - 3d$
$a_7 = a_4 + 3d$
Тогда их сумма равна: $a_1 + a_7 = (a_4 - 3d) + (a_4 + 3d) = 2a_4$.
Подставим это в формулу суммы:
$S_7 = \frac{2a_4}{2} \cdot 7 = a_4 \cdot 7 = 21 \cdot 7 = 147$.
Ответ: 147

б) Необходимо найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, $S_9$. Известно, что пятый член этой прогрессии равен $a_5 = -2$.
Число членов $n=9$ является нечетным. Как и в предыдущем пункте, мы можем использовать свойство среднего члена.
Для последовательности из девяти членов средним будет пятый член, так как номер среднего члена вычисляется как $(n+1)/2 = (9+1)/2 = 5$.
Сумма девяти членов равна произведению их количества на средний член:
$S_9 = 9 \cdot a_5$.
Подставим известное значение $a_5 = -2$:
$S_9 = 9 \cdot (-2) = -18$.

Проверим этот результат через стандартную формулу.$S_9 = \frac{a_1 + a_9}{2} \cdot 9$.Члены $a_1$ и $a_9$ симметричны относительно $a_5$. Выразим их через $a_5$ и разность $d$:
$a_1 = a_5 - 4d$
$a_9 = a_5 + 4d$
Их сумма: $a_1 + a_9 = (a_5 - 4d) + (a_5 + 4d) = 2a_5$.
Подставляем в формулу суммы:
$S_9 = \frac{2a_5}{2} \cdot 9 = a_5 \cdot 9 = (-2) \cdot 9 = -18$.
Ответ: -18