Номер 378, страница 114 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 378, страница 114.

Условие.

378. Найдите четыре последовательных целых числа, образующих арифметическую прогрессию, если наибольшее из них равно сумме квадратов трех остальных.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомые четыре последовательных целых числа равны $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$. Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=1$.

Согласно условию задачи, наибольшее из этих чисел, $n+3$, равно сумме квадратов трех остальных. Составим уравнение на основе этого условия:

$n+3 = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулы квадрата суммы:

$n+3 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$n+3 = (n^2+n^2+n^2) + (2n+4n) + (1+4)$

$n+3 = 3n^2 + 6n + 5$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $an^2+bn+c=0$:

$3n^2 + 6n - n + 5 - 3 = 0$

$3n^2 + 5n + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 1}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$n_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 1}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

По условию задачи мы ищем целые числа, поэтому корень $n_1 = -2/3$ не является решением. Единственный подходящий корень — $n_2 = -1$.

Теперь, зная значение $n$, найдем искомые четыре числа:

Первое число: $n = -1$

Второе число: $n+1 = -1+1 = 0$

Третье число: $n+2 = -1+2 = 1$

Четвертое число: $n+3 = -1+3 = 2$

Таким образом, мы получили последовательность чисел: -1, 0, 1, 2.

Выполним проверку. Наибольшее число в последовательности — это 2. Сумма квадратов трех остальных чисел:

$(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$

Так как $2 = 2$, найденные числа удовлетворяют условию задачи.

Ответ: -1, 0, 1, 2.