Номер 385, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 385, страница 115.

Условие.

385. Периметр треугольника равен 15 см. Найдите его стороны, если они выражаются целым числом сантиметров и образуют арифметическую прогрессию.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть стороны треугольника, образующие арифметическую прогрессию, равны $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Для удобства представим их в виде $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ – средний член прогрессии, а $d$ – её разность. По условию, стороны выражаются целым числом сантиметров, значит $a-d$, $a$ и $a+d$ являются целыми и положительными числами.

Периметр треугольника – это сумма длин его сторон. Согласно условию, периметр равен 15 см. Составим уравнение:

$P = (a-d) + a + (a+d) = 15$

$3a = 15$

$a = 15 / 3 = 5$

Таким образом, средняя по величине сторона треугольника равна 5 см. Так как $a=5$ – целое число, а по условию стороны $a-d$ и $a+d$ также должны быть целыми, то и разность прогрессии $d$ должна быть целым числом.

Теперь стороны треугольника можно записать как $5-d$, $5$ и $5+d$.

Для того чтобы треугольник с такими сторонами существовал, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны. Достаточно проверить, что сумма длин двух меньших сторон больше длины наибольшей стороны.

Предположим, что разность прогрессии $d \ge 0$. Тогда стороны в порядке неубывания будут $5-d$, $5$, $5+d$. Наибольшая сторона — $5+d$. Проверим для них неравенство треугольника:

$(5-d) + 5 > 5+d$

$10 - d > 5+d$

$5 > 2d$

$d < 2.5$

Также необходимо, чтобы все стороны были положительными. Наименьшая сторона $5-d$ должна быть больше нуля:

$5-d > 0$

$d < 5$

Мы имеем два ограничения на $d$: $d < 2.5$ и $d < 5$. Более строгим является $d < 2.5$.

Итак, мы ищем целые значения $d$ такие, что $d \ge 0$ и $d < 2.5$. Этим условиям удовлетворяют следующие значения $d$: 0, 1, 2.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Если $d=0$, стороны равны: $5-0$, $5$, $5+0$. Получаем стороны 5 см, 5 см, 5 см. Это равносторонний треугольник. Периметр $5+5+5=15$ см. Все условия выполнены.

2. Если $d=1$, стороны равны: $5-1$, $5$, $5+1$. Получаем стороны 4 см, 5 см, 6 см. Периметр $4+5+6=15$ см. Неравенство треугольника $4+5 > 6$ выполняется. Все условия выполнены.

3. Если $d=2$, стороны равны: $5-2$, $5$, $5+2$. Получаем стороны 3 см, 5 см, 7 см. Периметр $3+5+7=15$ см. Неравенство треугольника $3+5 > 7$ (т.е. $8 > 7$) выполняется. Все условия выполнены.

Если бы мы рассмотрели отрицательные значения $d$ (например, $d=-1$ или $d=-2$), мы бы получили те же наборы сторон, но в порядке убывания ($6, 5, 4$ и $7, 5, 3$), что не меняет сам треугольник.

Таким образом, существует три возможных набора сторон для такого треугольника.

Ответ: Стороны треугольника могут быть равны (в см): 5, 5, 5; или 4, 5, 6; или 3, 5, 7.