Вопросы, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. III. Последовательности - страница 117.

Условие.

1. Выведите формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:

a) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$;

б) $S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n.$

2. Какой из этих формул удобно воспользоваться для вычисления суммы всех двузначных чисел?

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Выведите формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:

а) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_1, a_2, \dots, a_n$ с разностью $d$. Сумма ее первых $n$ членов обозначается $S_n$.Запишем эту сумму в прямом и обратном порядке:
$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$
$S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1$
Теперь сложим эти два равенства почленно. Каждый член первой суммы складывается с соответствующим членом второй суммы:
$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)$
Для любой арифметической прогрессии сумма членов, равноудаленных от ее концов, есть величина постоянная и равная сумме первого и последнего членов. То есть, $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$. Например, $a_2 + a_{n-1} = (a_1 + d) + (a_n - d) = a_1 + a_n$.
Таким образом, каждая из $n$ скобок в правой части равенства равна $(a_1 + a_n)$:
$2S_n = \underbrace{(a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \dots + (a_1 + a_n)}_{n \text{ раз}}$
$2S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$
Разделив обе части на 2, получаем искомую формулу:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Ответ: Вывод формулы основан на сложении суммы прогрессии, записанной в прямом и обратном порядке, и использовании свойства постоянства суммы членов, равноудаленных от концов прогрессии. Итоговая формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

б) $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Для вывода этой формулы воспользуемся уже полученной формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ и формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$, где $d$ — разность прогрессии.
Подставим выражение для $a_n$ в формулу суммы:
$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + d(n-1))}{2} \cdot n$
Теперь упростим выражение в числителе дроби, сложив $a_1$ и $a_1$:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Таким образом, вторая формула получена из первой путем подстановки в нее формулы $n$-го члена.
Ответ: В формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ подставляется выражение для $n$-го члена $a_n = a_1 + d(n-1)$, что приводит к формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

2. Какой из этих формул удобно воспользоваться для вычисления суммы всех двузначных чисел?

Последовательность всех двузначных чисел представляет собой арифметическую прогрессию. Определим ее параметры:
• Первый член прогрессии (наименьшее двузначное число): $a_1 = 10$.
• Последний член прогрессии (наибольшее двузначное число): $a_n = 99$.
• Разность прогрессии: $d = 1$.
Найдем количество членов в этой прогрессии ($n$) по формуле $a_n = a_1 + d(n-1)$:
$99 = 10 + 1 \cdot (n-1)$
$89 = n - 1$
$n = 90$
Теперь сравним удобство использования двух формул.
1. Формула а) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Для ее применения нам нужно знать $a_1$, $a_n$ и $n$. В данной задаче первый и последний члены ($10$ и $99$) известны непосредственно из условия. Количество членов ($n=90$) также легко находится.
2. Формула б) $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. Для ее применения нужно знать $a_1$, $d$ и $n$. Эта формула не использует напрямую известный последний член $a_n$.
В данном случае, поскольку первый и последний члены прогрессии ($a_1 = 10$ и $a_n = 99$) очевидны из постановки задачи, удобнее воспользоваться формулой а). Она является более прямой, так как использует именно те данные, которые сразу известны.
Вычислим сумму для проверки:
$S_{90} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.
Ответ: Удобнее воспользоваться формулой а) $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, так как первый ($a_1=10$) и последний ($a_n=99$) члены искомой арифметической прогрессии известны непосредственно из условия задачи.