Номер 387, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 387, страница 115.

Условие.

387. Исследуйте, каким может быть первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 \in \mathbb{Z}$, $a_2 = 2$ и $a_3^2 + a_4^2 < 4$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии $(a_n)$.

Согласно условию, второй член прогрессии $a_2 = 2$. Выразим члены $a_1, a_3$ и $a_4$ через $a_2$ и разность $d$:

$a_1 = a_2 - d = 2 - d$

$a_3 = a_2 + d = 2 + d$

$a_4 = a_2 + 2d = 2 + 2d$

В задаче указано, что первый член $a_1$ является целым числом ($a_1 \in \mathbb{Z}$). Из формулы $a_1 = 2 - d$ следует, что разность $d$ также должна быть целым числом, так как разность двух целых чисел ($2 - a_1$) является целым числом.

Рассмотрим второе условие, заданное в виде неравенства: $a_3^2 + a_4^2 < 4$. Подставим в него выражения для $a_3$ и $a_4$ через $d$:

$(2 + d)^2 + (2 + 2d)^2 < 4$

Раскроем скобки и преобразуем неравенство:

$(4 + 4d + d^2) + (4 + 8d + 4d^2) < 4$

$5d^2 + 12d + 8 < 4$

$5d^2 + 12d + 4 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $5d^2 + 12d + 4 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$.

Корни уравнения равны:

$d_1 = \frac{-12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 - 8}{10} = \frac{-20}{10} = -2$

$d_2 = \frac{-12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 + 8}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$

Графиком функции $y = 5d^2 + 12d + 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $5d^2 + 12d + 4 < 0$ выполняется для значений $d$, находящихся в интервале между корнями:

$-2 < d < -0.4$

Мы получили два условия для разности прогрессии $d$:

1. $d$ — целое число.

2. $d$ принадлежит интервалу $(-2; -0.4)$.

Единственное целое число, которое удовлетворяет обоим условиям, это $d = -1$.

Теперь мы можем найти единственное возможное значение для первого члена прогрессии $a_1$:

$a_1 = 2 - d = 2 - (-1) = 3$.

Проведем проверку. Если $a_1 = 3$, то $a_1 \in \mathbb{Z}$. Разность $d = a_2 - a_1 = 2 - 3 = -1$.

Тогда $a_3 = a_2 + d = 2 + (-1) = 1$ и $a_4 = a_3 + d = 1 + (-1) = 0$.

Проверим неравенство: $a_3^2 + a_4^2 = 1^2 + 0^2 = 1$. Так как $1 < 4$, неравенство выполняется. Все условия задачи соблюдены.

Ответ: 3