Номер 387, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 387, страница 115.
№387 (с. 115)
Условие. №387 (с. 115)
скриншот условия

387. Исследуйте, каким может быть первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 \in \mathbb{Z}$, $a_2 = 2$ и $a_3^2 + a_4^2 < 4$.
Решение. №387 (с. 115)


Решение 2 (rus). №387 (с. 115)
Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии $(a_n)$.
Согласно условию, второй член прогрессии $a_2 = 2$. Выразим члены $a_1, a_3$ и $a_4$ через $a_2$ и разность $d$:
$a_1 = a_2 - d = 2 - d$
$a_3 = a_2 + d = 2 + d$
$a_4 = a_2 + 2d = 2 + 2d$
В задаче указано, что первый член $a_1$ является целым числом ($a_1 \in \mathbb{Z}$). Из формулы $a_1 = 2 - d$ следует, что разность $d$ также должна быть целым числом, так как разность двух целых чисел ($2 - a_1$) является целым числом.
Рассмотрим второе условие, заданное в виде неравенства: $a_3^2 + a_4^2 < 4$. Подставим в него выражения для $a_3$ и $a_4$ через $d$:
$(2 + d)^2 + (2 + 2d)^2 < 4$
Раскроем скобки и преобразуем неравенство:
$(4 + 4d + d^2) + (4 + 8d + 4d^2) < 4$
$5d^2 + 12d + 8 < 4$
$5d^2 + 12d + 4 < 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $5d^2 + 12d + 4 = 0$.
Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$.
Корни уравнения равны:
$d_1 = \frac{-12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 - 8}{10} = \frac{-20}{10} = -2$
$d_2 = \frac{-12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 + 8}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$
Графиком функции $y = 5d^2 + 12d + 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $5d^2 + 12d + 4 < 0$ выполняется для значений $d$, находящихся в интервале между корнями:
$-2 < d < -0.4$
Мы получили два условия для разности прогрессии $d$:
1. $d$ — целое число.
2. $d$ принадлежит интервалу $(-2; -0.4)$.
Единственное целое число, которое удовлетворяет обоим условиям, это $d = -1$.
Теперь мы можем найти единственное возможное значение для первого члена прогрессии $a_1$:
$a_1 = 2 - d = 2 - (-1) = 3$.
Проведем проверку. Если $a_1 = 3$, то $a_1 \in \mathbb{Z}$. Разность $d = a_2 - a_1 = 2 - 3 = -1$.
Тогда $a_3 = a_2 + d = 2 + (-1) = 1$ и $a_4 = a_3 + d = 1 + (-1) = 0$.
Проверим неравенство: $a_3^2 + a_4^2 = 1^2 + 0^2 = 1$. Так как $1 < 4$, неравенство выполняется. Все условия задачи соблюдены.
Ответ: 3
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 387 расположенного на странице 115 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №387 (с. 115), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.