Номер 388, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 388, страница 115.

Условие.

388. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения (1), а $x_3$ и $x_4$ — корни уравнения (2), причем числа $x_1$; $x_2$; $x_3$; $x_4$ в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию. Найдите $n$ и $m$, если даны уравнения:

а) $x^2 - 7x + n = 0$ (1), $x^2 - 11x + m = 0$ (2);

б) $x^2 - 4x + n = 0$ (1), $x^2 + 14x + m = 0$ (2).

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

По условию, $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения (1): $x^2 - 7x + n = 0$, а $x_3$ и $x_4$ – корни уравнения (2): $x^2 - 11x + m = 0$. Числа $x_1, x_2, x_3, x_4$ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.

Применим теорему Виета для обоих уравнений:

Для уравнения (1):

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = n$

Для уравнения (2):

$x_3 + x_4 = 11$

$x_3 \cdot x_4 = m$

Пусть $d$ – разность арифметической прогрессии. Тогда корни можно выразить через первый член $x_1$ и разность $d$:

$x_2 = x_1 + d$

$x_3 = x_1 + 2d$

$x_4 = x_1 + 3d$

Подставим эти выражения в уравнения для сумм корней:

$x_1 + (x_1 + d) = 2x_1 + d = 7$

$(x_1 + 2d) + (x_1 + 3d) = 2x_1 + 5d = 11$

Получим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $x_1$ и $d$:

$\begin{cases} 2x_1 + d = 7 \\ 2x_1 + 5d = 11 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(2x_1 + 5d) - (2x_1 + d) = 11 - 7$

$4d = 4$

$d = 1$

Подставим значение $d=1$ в первое уравнение системы:

$2x_1 + 1 = 7$

$2x_1 = 6$

$x_1 = 3$

Теперь найдем все корни прогрессии:

$x_1 = 3$

$x_2 = 3 + 1 = 4$

$x_3 = 3 + 2 \cdot 1 = 5$

$x_4 = 3 + 3 \cdot 1 = 6$

Осталось найти $n$ и $m$, используя формулы для произведения корней:

$n = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 4 = 12$

$m = x_3 \cdot x_4 = 5 \cdot 6 = 30$

Ответ: $n = 12, m = 30$.

б)

По условию, $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения (1): $x^2 - 4x + n = 0$, а $x_3$ и $x_4$ – корни уравнения (2): $x^2 + 14x + m = 0$. Числа $x_1, x_2, x_3, x_4$ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.

Применим теорему Виета для обоих уравнений:

Для уравнения (1):

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = n$

Для уравнения (2):

$x_3 + x_4 = -14$

$x_3 \cdot x_4 = m$

Пусть $d$ – разность арифметической прогрессии. Выразим корни через $x_1$ и $d$:

$x_2 = x_1 + d$

$x_3 = x_1 + 2d$

$x_4 = x_1 + 3d$

Подставим эти выражения в уравнения для сумм корней:

$x_1 + (x_1 + d) = 2x_1 + d = 4$

$(x_1 + 2d) + (x_1 + 3d) = 2x_1 + 5d = -14$

Получим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $x_1$ и $d$:

$\begin{cases} 2x_1 + d = 4 \\ 2x_1 + 5d = -14 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(2x_1 + 5d) - (2x_1 + d) = -14 - 4$

$4d = -18$

$d = -18/4 = -9/2 = -4.5$

Подставим значение $d=-4.5$ в первое уравнение системы:

$2x_1 - 4.5 = 4$

$2x_1 = 8.5$

$x_1 = 8.5/2 = 17/4 = 4.25$

Теперь найдем все корни прогрессии:

$x_1 = 4.25$

$x_2 = 4.25 + (-4.5) = -0.25$

$x_3 = -0.25 + (-4.5) = -4.75$

$x_4 = -4.75 + (-4.5) = -9.25$

Осталось найти $n$ и $m$, используя формулы для произведения корней:

$n = x_1 \cdot x_2 = 4.25 \cdot (-0.25) = \frac{17}{4} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{17}{16}$

$m = x_3 \cdot x_4 = (-4.75) \cdot (-9.25) = \left(-\frac{19}{4}\right) \cdot \left(-\frac{37}{4}\right) = \frac{703}{16}$

Ответ: $n = -17/16, m = 703/16$.