Номер 374, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Арифметическая профессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 374, страница 113.

Условие.

374. Является ли арифметической прогрессией последовательность, график которой изображен на рисунке 37, а, б? Если является, то запишите формулу ее $n$-го члена.

а)

б)

Рисунок 37

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии (d). Чтобы определить, является ли последовательность на графике арифметической прогрессией, найдем её члены и проверим, постоянна ли разность между ними.

По графику на рисунке 37, а) определим первые несколько членов последовательности $a_n$, где n — номер члена (ось x), а $a_n$ — его значение (ось y):

$a_1 = 7$

$a_2 = 5,5$

$a_3 = 4$

$a_4 = 2,5$

$a_5 = 1$

Теперь найдем разность d между соседними членами:

$d_1 = a_2 - a_1 = 5,5 - 7 = -1,5$

$d_2 = a_3 - a_2 = 4 - 5,5 = -1,5$

$d_3 = a_4 - a_3 = 2,5 - 4 = -1,5$

$d_4 = a_5 - a_4 = 1 - 2,5 = -1,5$

Так как разность между всеми последовательными членами постоянна и равна -1,5, данная последовательность является арифметической прогрессией. Первый член прогрессии $a_1 = 7$, а её разность $d = -1,5$.

Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим найденные значения $a_1$ и d:

$a_n = 7 + (n-1) \cdot (-1,5)$

Упростим выражение:

$a_n = 7 - 1,5n + 1,5$

$a_n = 8,5 - 1,5n$

Ответ: Да, является. Формула n-го члена: $a_n = 8,5 - 1,5n$.

б)

Аналогично проанализируем график на рисунке 37, б). Определим первые несколько членов последовательности:

$a_1 = 6$

$a_2 = 4$

$a_3 = 4$

$a_4 = 2$

$a_5 = 2$

Теперь найдем разность между соседними членами:

$d_1 = a_2 - a_1 = 4 - 6 = -2$

$d_2 = a_3 - a_2 = 4 - 4 = 0$

Разности между соседними членами не равны ($-2 \neq 0$). Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией, так как у неё нет постоянной разности.

Ответ: Нет, не является.