Номер 438, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 438, страница 127.

Условие.

438. Докажите, что если различные положительные числа a, b, c являются последовательными членами геометрической прогрессии, то верно неравенство:

а) $\frac{a+c}{2} > \frac{a+b+c}{3}$

б) $a^3 + c^3 > 2b^3$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

По условию, $a$, $b$, $c$ — различные положительные числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии. Это значит, что для них выполняется свойство $b^2 = ac$. Поскольку числа положительные, то $b = \sqrt{ac}$.

Рассмотрим неравенство, которое нужно доказать:

$\frac{a+c}{2} > \frac{a+b+c}{3}$

Это неравенство является равносильным следующему (умножим обе части на 6):

$3(a+c) > 2(a+b+c)$

Раскроем скобки и упростим:

$3a + 3c > 2a + 2b + 2c$

$3a - 2a + 3c - 2c > 2b$

$a + c > 2b$

Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства $a + c > 2b$.

Для любых двух различных положительных чисел справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши), которое гласит, что среднее арифметическое больше среднего геометрического:

$\frac{a+c}{2} > \sqrt{ac}$

Поскольку $b = \sqrt{ac}$, мы можем подставить $b$ в это неравенство:

$\frac{a+c}{2} > b$

Умножив обе части на 2, получаем:

$a+c > 2b$

Это неравенство верно, так как числа $a$ и $c$ по условию различны. Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $\frac{a+c}{2} > \frac{a+b+c}{3}$ также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Нужно доказать неравенство $a^3 + c^3 > 2b^3$.

Пусть $q$ — знаменатель геометрической прогрессии. Так как числа $a, b, c$ различны и положительны, то $q>0$ и $q \ne 1$. Мы можем выразить $b$ и $c$ через $a$ и $q$:

$b = aq$

$c = aq^2$

Подставим эти выражения в доказываемое неравенство:

$a^3 + (aq^2)^3 > 2(aq)^3$

Выполним возведение в степень:

$a^3 + a^3q^6 > 2a^3q^3$

Поскольку $a>0$, то $a^3>0$. Мы можем разделить обе части неравенства на $a^3$, не меняя знака неравенства:

$1 + q^6 > 2q^3$

Перенесем все члены в левую часть:

$q^6 - 2q^3 + 1 > 0$

Левую часть этого неравенства можно представить в виде полного квадрата разности. Если сделать замену $x = q^3$, мы получим $x^2 - 2x + 1 > 0$. Таким образом, наше неравенство эквивалентно следующему:

$(q^3 - 1)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Он равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. В нашем случае это означало бы $q^3 - 1 = 0$, что возможно только при $q^3 = 1$. Так как $q$ — положительное число, это означает $q=1$.

Однако по условию задачи числа $a, b, c$ различны, что означает $q \ne 1$. Следовательно, $q^3 - 1 \ne 0$, а значит, квадрат этого выражения $(q^3-1)^2$ всегда строго больше нуля.

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.