Номер 438, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
17. Геометрическая прогрессия и ее свойства. III. Последовательности - номер 438, страница 127.
№438 (с. 127)
Условие. №438 (с. 127)
скриншот условия

438. Докажите, что если различные положительные числа a, b, c являются последовательными членами геометрической прогрессии, то верно неравенство:
а) $\frac{a+c}{2} > \frac{a+b+c}{3}$
б) $a^3 + c^3 > 2b^3$
Решение. №438 (с. 127)


Решение 2 (rus). №438 (с. 127)
а)
По условию, $a$, $b$, $c$ — различные положительные числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии. Это значит, что для них выполняется свойство $b^2 = ac$. Поскольку числа положительные, то $b = \sqrt{ac}$.
Рассмотрим неравенство, которое нужно доказать:
$\frac{a+c}{2} > \frac{a+b+c}{3}$
Это неравенство является равносильным следующему (умножим обе части на 6):
$3(a+c) > 2(a+b+c)$
Раскроем скобки и упростим:
$3a + 3c > 2a + 2b + 2c$
$3a - 2a + 3c - 2c > 2b$
$a + c > 2b$
Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства $a + c > 2b$.
Для любых двух различных положительных чисел справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши), которое гласит, что среднее арифметическое больше среднего геометрического:
$\frac{a+c}{2} > \sqrt{ac}$
Поскольку $b = \sqrt{ac}$, мы можем подставить $b$ в это неравенство:
$\frac{a+c}{2} > b$
Умножив обе части на 2, получаем:
$a+c > 2b$
Это неравенство верно, так как числа $a$ и $c$ по условию различны. Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $\frac{a+c}{2} > \frac{a+b+c}{3}$ также верно.
Ответ: Неравенство доказано.
б)
Нужно доказать неравенство $a^3 + c^3 > 2b^3$.
Пусть $q$ — знаменатель геометрической прогрессии. Так как числа $a, b, c$ различны и положительны, то $q>0$ и $q \ne 1$. Мы можем выразить $b$ и $c$ через $a$ и $q$:
$b = aq$
$c = aq^2$
Подставим эти выражения в доказываемое неравенство:
$a^3 + (aq^2)^3 > 2(aq)^3$
Выполним возведение в степень:
$a^3 + a^3q^6 > 2a^3q^3$
Поскольку $a>0$, то $a^3>0$. Мы можем разделить обе части неравенства на $a^3$, не меняя знака неравенства:
$1 + q^6 > 2q^3$
Перенесем все члены в левую часть:
$q^6 - 2q^3 + 1 > 0$
Левую часть этого неравенства можно представить в виде полного квадрата разности. Если сделать замену $x = q^3$, мы получим $x^2 - 2x + 1 > 0$. Таким образом, наше неравенство эквивалентно следующему:
$(q^3 - 1)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Он равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. В нашем случае это означало бы $q^3 - 1 = 0$, что возможно только при $q^3 = 1$. Так как $q$ — положительное число, это означает $q=1$.
Однако по условию задачи числа $a, b, c$ различны, что означает $q \ne 1$. Следовательно, $q^3 - 1 \ne 0$, а значит, квадрат этого выражения $(q^3-1)^2$ всегда строго больше нуля.
Таким образом, неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 438 расположенного на странице 127 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №438 (с. 127), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.