Номер 452, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 452, страница 132.

Условие.

452. Между числами 1 и 256 запишите такие три числа, чтобы вместе с данными они составляли геометрическую прогрессию и найдите ее сумму.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомая последовательность чисел является геометрической прогрессией $b_n$. По условию, ее первый член $b_1 = 1$. Нам необходимо вставить три числа между первым и последним, это будут члены $b_2, b_3, b_4$. Тогда число 256 будет пятым членом прогрессии, то есть $b_5 = 256$. Общее число членов прогрессии $n=5$.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для нахождения ее знаменателя $q$.

Подставим известные нам значения:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$256 = 1 \cdot q^4$
$q^4 = 256$

Это уравнение имеет два действительных решения для $q$: $q = \sqrt[4]{256} = 4$ и $q = -\sqrt[4]{256} = -4$. Рассмотрим оба возможных случая, так как в условии нет ограничений на знак членов прогрессии.

Случай 1: знаменатель $q = 4$

Найдем три числа, которые нужно вставить, последовательно умножая предыдущий член на знаменатель:
$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot 4 = 4$
$b_3 = b_2 \cdot q = 4 \cdot 4 = 16$
$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot 4 = 64$
Таким образом, искомые числа: 4, 16, 64. Полученная прогрессия имеет вид: 1, 4, 16, 64, 256.

Теперь найдем сумму этой прогрессии ($S_5$), используя формулу суммы первых n членов $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$:
$S_5 = \frac{1(4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{1024 - 1}{3} = \frac{1023}{3} = 341$.

Случай 2: знаменатель $q = -4$

Аналогично найдем три числа, которые нужно вставить:
$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot (-4) = -4$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-4) \cdot (-4) = 16$
$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot (-4) = -64$
В этом случае искомые числа: -4, 16, -64. Полученная прогрессия имеет вид: 1, -4, 16, -64, 256.

Найдем сумму этой прогрессии:
$S_5 = \frac{1((-4)^5 - 1)}{-4 - 1} = \frac{-1024 - 1}{-5} = \frac{-1025}{-5} = 205$.

Задача имеет два возможных набора чисел и, соответственно, две разные суммы.

Ответ:
1) Искомые числа: 4, 16, 64. Сумма прогрессии равна 341.
2) Искомые числа: -4, 16, -64. Сумма прогрессии равна 205.