Номер 455, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 455, страница 132.

Условие.

455. Некто продавал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее покупать из-за того, что посчитал: лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего $ \frac{1}{4} $ копейки, за второй – $ \frac{1}{2} $ копейки, за третий – 1 копейку и т. д.» Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца. На сколько покупатель проторговался? (Задача из книги «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, которая в XVIII столетии была основным школьным учебником по математике в России.)

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо определить итоговую стоимость всех подковных гвоздей и сравнить ее с первоначальной ценой лошади.

1. Найдем общее количество гвоздей. У лошади 4 ноги, соответственно, 4 подковы. В каждой подкове по 6 гвоздей. Общее количество гвоздей: $4 \text{ подковы} \times 6 \text{ гвоздей/подкова} = 24$ гвоздя.

2. Рассчитаем стоимость гвоздей. Цена за гвозди представляет собой геометрическую прогрессию. Цена за первый гвоздь ($b_1$) составляет $\frac{1}{4}$ копейки. Цена за второй гвоздь — $\frac{1}{2}$ копейки. Цена за третий — $1$ копейка. Знаменатель геометрической прогрессии ($q$) равен отношению цены следующего члена к предыдущему: $q = \frac{1/2}{1/4} = 2$.

Для нахождения общей суммы ($S_n$) за все 24 гвоздя воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения: $n=24$, $b_1=\frac{1}{4}$, $q=2$. $S_{24} = \frac{\frac{1}{4}(2^{24} - 1)}{2 - 1} = \frac{1}{4}(2^{24} - 1)$

Вычислим $2^{24}$: $2^{24} = (2^{10})^2 \times 2^4 = 1024^2 \times 16 = 1\;048\;576 \times 16 = 16\;777\;216$.

Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы: $S_{24} = \frac{1}{4}(16\;777\;216 - 1) = \frac{16\;777\;215}{4} = 4\;194\;303.75$ копеек.

3. Переведем стоимость в рубли и найдем разницу. В одном рубле 100 копеек, поэтому итоговая стоимость гвоздей в рублях: $4\;194\;303.75 \text{ копеек} / 100 = 41\;943.0375$ рубля.

Изначальная цена лошади была 156 рублей. Чтобы узнать, на сколько покупатель проторговался (переплатил), вычтем из заплаченной суммы первоначальную цену: $41\;943.0375 \text{ руб.} - 156 \text{ руб.} = 41\;787.0375$ рубля.

Это составляет 41 787 рублей и 3,75 копейки.

Ответ: Покупатель проторговался на 41 787 рублей и 3,75 копейки.