Номер 462, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 462, страница 133.

Условие.

462. Установите, является ли целым числом значение выражения

$3^{2019} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots + \left(\frac{2}{3}\right)^{2019}\right).$

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим данное выражение буквой $V$.$V = 3^{2019} \cdot \left(1 + \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \dots + \left(\frac{2}{3}\right)^{2019}\right)$.

Выражение в скобках представляет собой сумму $S$ первых $n$ членов геометрической прогрессии.Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$.Знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{3}$.Количество членов $n$ равно $2019 - 0 + 1 = 2020$.

Сумму конечной геометрической прогрессии можно найти по формуле:$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Подставим наши значения в формулу:$S = \frac{1 \cdot \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{2020}\right)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1 - \frac{2^{2020}}{3^{2020}}}{\frac{1}{3}}$.

Упростим полученное выражение для суммы $S$:$S = 3 \cdot \left(1 - \frac{2^{2020}}{3^{2020}}\right) = 3 \cdot \left(\frac{3^{2020} - 2^{2020}}{3^{2020}}\right) = \frac{3^{2020} - 2^{2020}}{3^{2019}}$.

Теперь подставим найденное значение суммы $S$ в исходное выражение $V$:$V = 3^{2019} \cdot S = 3^{2019} \cdot \frac{3^{2020} - 2^{2020}}{3^{2019}}$.

Сократив $3^{2019}$ в числителе и знаменателе, получаем:$V = 3^{2020} - 2^{2020}$.

Поскольку $3$ и $2$ являются целыми числами, то их натуральные степени $3^{2020}$ и $2^{2020}$ также являются целыми числами. Разность двух целых чисел всегда является целым числом.Следовательно, значение данного выражения является целым числом.

Ответ: да, является.