Номер 458, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сумма n первых членов геометрической прогрессии. III. Последовательности - номер 458, страница 133.

Условие.

458. Дан равносторонний треугольник, сторона которого 8 дм. Из его высот построен второй треугольник, из высот второго – третий и так далее. Докажите, что площади этих треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите сумму пяти ее членов.

Решение.

Решение 2 (rus).

Доказательство, что площади треугольников образуют геометрическую прогрессию

Пусть $a_n$ — сторона $n$-го равностороннего треугольника, а $S_n$ — его площадь. Формула для высоты $h_n$ и площади $S_n$ равностороннего треугольника со стороной $a_n$ выглядит следующим образом:

$h_n = \frac{a_n \sqrt{3}}{2}$

$S_n = \frac{a_n^2 \sqrt{3}}{4}$

Согласно условию задачи, сторона следующего, $(n+1)$-го, треугольника равна высоте предыдущего, $n$-го, треугольника. То есть, $a_{n+1} = h_n$.

$a_{n+1} = \frac{a_n \sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем отношение площадей двух последовательных треугольников, $S_{n+1}$ и $S_n$:

$\frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{\frac{a_{n+1}^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{a_n^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2$

Подставив в это выражение соотношение между сторонами, получим:

$\frac{S_{n+1}}{S_n} = \left(\frac{\frac{a_n \sqrt{3}}{2}}{a_n}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

Поскольку отношение площади каждого последующего треугольника к площади предыдущего является постоянным числом, последовательность площадей $S_1, S_2, S_3, \ldots$ является геометрической прогрессией. Знаменатель этой прогрессии $q = \frac{3}{4}$.

Нахождение суммы пяти членов прогрессии

Первый член последовательности — это площадь исходного треугольника $S_1$ со стороной $a_1 = 8$ дм.

$S_1 = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ дм².

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии ($b_1, b_2, \ldots$) находится по формуле:

$Sum_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$

В нашем случае $b_1 = S_1 = 16\sqrt{3}$, $q = \frac{3}{4}$, и нам нужно найти сумму первых пяти членов, то есть $n=5$.

$Sum_5 = 16\sqrt{3} \cdot \frac{1 - (\frac{3}{4})^5}{1 - \frac{3}{4}}$

Выполним вычисления:

$1 - q^5 = 1 - \frac{3^5}{4^5} = 1 - \frac{243}{1024} = \frac{1024 - 243}{1024} = \frac{781}{1024}$

$1 - q = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Подставляем эти значения обратно в формулу суммы:

$Sum_5 = 16\sqrt{3} \cdot \frac{\frac{781}{1024}}{\frac{1}{4}} = 16\sqrt{3} \cdot \frac{781}{1024} \cdot 4 = 64\sqrt{3} \cdot \frac{781}{1024}$

Сокращаем $64$ и $1024$ (так как $1024 = 16 \cdot 64$):

$Sum_5 = \frac{781\sqrt{3}}{16}$ дм².

Ответ: Доказано, что площади треугольников образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{3}{4}$. Сумма пяти ее членов равна $\frac{781\sqrt{3}}{16}$ дм².