Номер 500, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 500, страница 142.

Условие.

500. Исследуйте, могут ли в последовательности натуральных чисел $2n - 1, 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5$ три последних числа составлять геометрическую прогрессию.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ составляли геометрическую прогрессию, должно выполняться их характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних, то есть $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.В нашем случае последние три члена последовательности — это $2n+1$, $2n+3$ и $2n+5$.Пусть $b_1 = 2n+1$, $b_2 = 2n+3$ и $b_3 = 2n+5$.Подставим эти выражения в свойство геометрической прогрессии:$(2n+3)^2 = (2n+1)(2n+5)$Раскроем скобки в обеих частях уравнения.В левой части, используя формулу квадрата суммы, получаем:$(2n+3)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot (2n) \cdot 3 + 3^2 = 4n^2 + 12n + 9$В правой части, перемножая многочлены, получаем:$(2n+1)(2n+5) = 4n^2 + 10n + 2n + 5 = 4n^2 + 12n + 5$Теперь приравняем полученные выражения:$4n^2 + 12n + 9 = 4n^2 + 12n + 5$Вычтем из обеих частей уравнения выражение $4n^2 + 12n$:$9 = 5$Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $n$. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений. Следовательно, не существует такого натурального числа $n$, при котором числа $2n+1$, $2n+3$ и $2n+5$ могли бы составить геометрическую прогрессию.Ответ: не могут.