Номер 504, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 504, страница 143.

Условие.

504. Дария, Рашит и Тана покупали тетради по 25 тенге и ручки. Дария купила 10 тетрадей и 3 ручки, Рашит – 20 тетрадей и 2 ручки, Тана – 30 тетрадей и 3 ручки. Оказалось, что суммы, которые уплатили Дария, Рашит и Тана, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит ручка?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть цена одной ручки равна $x$ тенге. Цена одной тетради известна и составляет 25 тенге.

Рассчитаем сумму, которую заплатил каждый из покупателей:

1. Дария купила 10 тетрадей и 3 ручки. Сумма ее покупки:
$S_Д = 10 \cdot 25 + 3 \cdot x = 250 + 3x$

2. Рашит купил 20 тетрадей и 2 ручки. Сумма его покупки:
$S_Р = 20 \cdot 25 + 2 \cdot x = 500 + 2x$

3. Тана купила 30 тетрадей и 3 ручки. Сумма ее покупки:
$S_Т = 30 \cdot 25 + 3 \cdot x = 750 + 3x$

По условию, суммы $S_Д$, $S_Р$ и $S_Т$ образуют геометрическую прогрессию. Обозначим их как члены прогрессии $b_1, b_2, b_3$:
$b_1 = 250 + 3x$
$b_2 = 500 + 2x$
$b_3 = 750 + 3x$

Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат любого ее члена (начиная со второго) равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим выражения для сумм в это свойство и составим уравнение: $(500 + 2x)^2 = (250 + 3x)(750 + 3x)$

Раскроем скобки.

Левая часть уравнения: $(500 + 2x)^2 = 500^2 + 2 \cdot 500 \cdot 2x + (2x)^2 = 250000 + 2000x + 4x^2$

Правая часть уравнения: $(250 + 3x)(750 + 3x) = 250 \cdot 750 + 250 \cdot 3x + 3x \cdot 750 + 3x \cdot 3x = 187500 + 750x + 2250x + 9x^2 = 187500 + 3000x + 9x^2$

Теперь приравняем обе части: $250000 + 2000x + 4x^2 = 187500 + 3000x + 9x^2$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $0 = (9x^2 - 4x^2) + (3000x - 2000x) + (187500 - 250000)$
$0 = 5x^2 + 1000x - 62500$

Для упрощения вычислений разделим все уравнение на 5: $x^2 + 200x - 12500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, найдя его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 200^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12500) = 40000 + 50000 = 90000$
$\sqrt{D} = \sqrt{90000} = 300$

Найдем значения $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-200 + 300}{2} = \frac{100}{2} = 50$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-200 - 300}{2} = \frac{-500}{2} = -250$

Цена товара не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -250$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, цена одной ручки составляет 50 тенге.

Проверим, образуют ли суммы покупок при цене ручки 50 тенге геометрическую прогрессию:
$S_Д = 250 + 3 \cdot 50 = 250 + 150 = 400$
$S_Р = 500 + 2 \cdot 50 = 500 + 100 = 600$
$S_Т = 750 + 3 \cdot 50 = 750 + 150 = 900$
Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{S_Р}{S_Д} = \frac{600}{400} = 1.5$
$\frac{S_Т}{S_Р} = \frac{900}{600} = 1.5$
Отношения равны, значит, последовательность 400, 600, 900 является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1.5$.

Ответ: 50 тенге.