Номер 508, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 508, страница 144.

Условие.

508. Докажите, что при любом $n\in\mathbb{N}$ значение выражения $6^{2n-1} + 1$ делится на 7.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства того, что выражение $6^{2n-1} + 1$ делится на 7 при любом натуральном $n$, можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Использование свойств сравнений по модулю

Нам нужно доказать, что $6^{2n-1} + 1$ делится на 7. На языке сравнений по модулю это означает, что нам нужно доказать $6^{2n-1} + 1 \equiv 0 \pmod{7}$.

Найдем остаток от деления числа 6 на 7:

$6 \equiv -1 \pmod{7}$

Теперь подставим это в наше выражение:

$6^{2n-1} + 1 \equiv (-1)^{2n-1} + 1 \pmod{7}$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in N$, то есть $n \ge 1$), то $2n$ — это всегда четное число. Следовательно, $2n-1$ — это всегда нечетное число. Например, при $n=1$ имеем $2(1)-1=1$, при $n=2$ имеем $2(2)-1=3$, и так далее.

Возведение -1 в любую нечетную степень дает -1. То есть, $(-1)^{2n-1} = -1$.

Продолжим преобразование сравнения:

$(-1)^{2n-1} + 1 \equiv -1 + 1 \pmod{7}$

$-1 + 1 = 0$, следовательно:

$6^{2n-1} + 1 \equiv 0 \pmod{7}$

Это доказывает, что выражение $6^{2n-1} + 1$ делится на 7 без остатка при любом натуральном значении $n$.

Способ 2: Метод математической индукции

Докажем утверждение с помощью метода математической индукции.

1. База индукции:

Проверим утверждение для $n=1$.

$6^{2(1)-1} + 1 = 6^1 + 1 = 7$

Число 7 делится на 7. Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение:

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть выражение $6^{2k-1} + 1$ делится на 7. Это значит, что существует такое целое число $m$, что $6^{2k-1} + 1 = 7m$.

3. Индукционный шаг:

Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $6^{2(k+1)-1} + 1$ делится на 7.

Преобразуем выражение для $n=k+1$:

$6^{2(k+1)-1} + 1 = 6^{2k+2-1} + 1 = 6^{2k+1} + 1$

Выразим $6^{2k+1}$ через $6^{2k-1}$ (чтобы использовать индукционное предположение):

$6^{2k+1} + 1 = 6^{2k-1+2} + 1 = 6^{2k-1} \cdot 6^2 + 1 = 6^{2k-1} \cdot 36 + 1$

Из индукционного предположения мы знаем, что $6^{2k-1} = 7m - 1$. Подставим это в наше выражение:

$(7m - 1) \cdot 36 + 1 = 7m \cdot 36 - 36 + 1 = 252m - 35$

Вынесем 7 за скобки:

$252m - 35 = 7 \cdot (36m) - 7 \cdot 5 = 7(36m - 5)$

Поскольку $m$ — целое число, то $36m - 5$ также является целым числом. Следовательно, выражение $7(36m - 5)$ делится на 7.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$.

По принципу математической индукции, утверждение о том, что $6^{2n-1} + 1$ делится на 7, верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Значение выражения $6^{2n-1} + 1$ делится на 7 при любом натуральном $n$.