Номер 508, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 508, страница 144.
№508 (с. 144)
Условие. №508 (с. 144)
скриншот условия

508. Докажите, что при любом $n\in\mathbb{N}$ значение выражения $6^{2n-1} + 1$ делится на 7.
Решение. №508 (с. 144)

Решение 2 (rus). №508 (с. 144)
Для доказательства того, что выражение $6^{2n-1} + 1$ делится на 7 при любом натуральном $n$, можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.
Способ 1: Использование свойств сравнений по модулю
Нам нужно доказать, что $6^{2n-1} + 1$ делится на 7. На языке сравнений по модулю это означает, что нам нужно доказать $6^{2n-1} + 1 \equiv 0 \pmod{7}$.
Найдем остаток от деления числа 6 на 7:
$6 \equiv -1 \pmod{7}$
Теперь подставим это в наше выражение:
$6^{2n-1} + 1 \equiv (-1)^{2n-1} + 1 \pmod{7}$
Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in N$, то есть $n \ge 1$), то $2n$ — это всегда четное число. Следовательно, $2n-1$ — это всегда нечетное число. Например, при $n=1$ имеем $2(1)-1=1$, при $n=2$ имеем $2(2)-1=3$, и так далее.
Возведение -1 в любую нечетную степень дает -1. То есть, $(-1)^{2n-1} = -1$.
Продолжим преобразование сравнения:
$(-1)^{2n-1} + 1 \equiv -1 + 1 \pmod{7}$
$-1 + 1 = 0$, следовательно:
$6^{2n-1} + 1 \equiv 0 \pmod{7}$
Это доказывает, что выражение $6^{2n-1} + 1$ делится на 7 без остатка при любом натуральном значении $n$.
Способ 2: Метод математической индукции
Докажем утверждение с помощью метода математической индукции.
1. База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$.
$6^{2(1)-1} + 1 = 6^1 + 1 = 7$
Число 7 делится на 7. Утверждение верно для $n=1$.
2. Индукционное предположение:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть выражение $6^{2k-1} + 1$ делится на 7. Это значит, что существует такое целое число $m$, что $6^{2k-1} + 1 = 7m$.
3. Индукционный шаг:
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $6^{2(k+1)-1} + 1$ делится на 7.
Преобразуем выражение для $n=k+1$:
$6^{2(k+1)-1} + 1 = 6^{2k+2-1} + 1 = 6^{2k+1} + 1$
Выразим $6^{2k+1}$ через $6^{2k-1}$ (чтобы использовать индукционное предположение):
$6^{2k+1} + 1 = 6^{2k-1+2} + 1 = 6^{2k-1} \cdot 6^2 + 1 = 6^{2k-1} \cdot 36 + 1$
Из индукционного предположения мы знаем, что $6^{2k-1} = 7m - 1$. Подставим это в наше выражение:
$(7m - 1) \cdot 36 + 1 = 7m \cdot 36 - 36 + 1 = 252m - 35$
Вынесем 7 за скобки:
$252m - 35 = 7 \cdot (36m) - 7 \cdot 5 = 7(36m - 5)$
Поскольку $m$ — целое число, то $36m - 5$ также является целым числом. Следовательно, выражение $7(36m - 5)$ делится на 7.
Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$.
По принципу математической индукции, утверждение о том, что $6^{2n-1} + 1$ делится на 7, верно для всех натуральных чисел $n$.
Ответ: Утверждение доказано. Значение выражения $6^{2n-1} + 1$ делится на 7 при любом натуральном $n$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 508 расположенного на странице 144 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №508 (с. 144), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.