Номер 515, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 515, страница 144.

Условие.

515. Докажите, что при любых натуральных n, больших 2, верно неравенство $4^n > 3^n + 2^n$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Докажем данное неравенство $4^n > 3^n + 2^n$ для всех натуральных $n > 2$ с помощью метода математической индукции.

1. База индукции

Проверим, выполняется ли неравенство для наименьшего натурального числа, удовлетворяющего условию $n > 2$, то есть для $n = 3$.

Подставим $n = 3$ в неравенство:

$4^3 > 3^3 + 2^3$

$64 > 27 + 8$

$64 > 35$

Неравенство верно. База индукции доказана.

2. Индукционное предположение

Предположим, что неравенство верно для некоторого произвольного натурального числа $k$, где $k \ge 3$. То есть, предположим, что верно:

$4^k > 3^k + 2^k$

3. Индукционный шаг

Докажем, что из истинности утверждения для $n=k$ следует его истинность для $n = k+1$. Нам нужно доказать, что:

$4^{k+1} > 3^{k+1} + 2^{k+1}$

Возьмем левую часть этого неравенства и преобразуем её, используя индукционное предположение:

$4^{k+1} = 4 \cdot 4^k$

Поскольку $4^k > 3^k + 2^k$, мы можем написать:

$4^{k+1} > 4 \cdot (3^k + 2^k)$

$4^{k+1} > 4 \cdot 3^k + 4 \cdot 2^k$

Теперь нам нужно показать, что полученное выражение больше, чем правая часть доказываемого неравенства, то есть $4 \cdot 3^k + 4 \cdot 2^k > 3^{k+1} + 2^{k+1}$.

Рассмотрим разность этих выражений:

$(4 \cdot 3^k + 4 \cdot 2^k) - (3^{k+1} + 2^{k+1}) = (4 \cdot 3^k + 4 \cdot 2^k) - (3 \cdot 3^k + 2 \cdot 2^k)$

$= (4 \cdot 3^k - 3 \cdot 3^k) + (4 \cdot 2^k - 2 \cdot 2^k)$

$= 1 \cdot 3^k + 2 \cdot 2^k = 3^k + 2^{k+1}$

Так как по условию $k \ge 3$, то $3^k$ и $2^{k+1}$ являются положительными числами. Следовательно, их сумма $3^k + 2^{k+1}$ строго больше нуля.

Это доказывает, что $4 \cdot 3^k + 4 \cdot 2^k > 3^{k+1} + 2^{k+1}$.

Таким образом, мы построили цепочку верных неравенств:

$4^{k+1} > 4 \cdot 3^k + 4 \cdot 2^k > 3^{k+1} + 2^{k+1}$

Из этой цепочки следует, что $4^{k+1} > 3^{k+1} + 2^{k+1}$. Индукционный шаг доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции неравенство $4^n > 3^n + 2^n$ верно для всех натуральных чисел $n > 2$.

Ответ: Утверждение доказано.