Номер 512, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 512, страница 144.

Условие.

512. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 5. Найдите ее разность, если ее пятый член равен сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$, а $(b_n)$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

По условию задачи, сумма первых пяти членов арифметической прогрессии $S_5 = 5$. Также известно, что ее пятый член $a_5$ равен сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$.

1. Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Первый член этой прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$, второй член $b_2 = \frac{1}{3}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$.

Поскольку $|q| = |\frac{2}{3}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму $S$ можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.

2. Найдем пятый член арифметической прогрессии.

По условию, $a_5 = S$, следовательно, $a_5 = \frac{3}{2}$.

3. Найдем разность арифметической прогрессии.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Для $n=5$ имеем $S_5 = \frac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5$. Подставим известные значения $S_5=5$ и $a_5 = \frac{3}{2}$:

$5 = \frac{a_1 + \frac{3}{2}}{2} \cdot 5$

Разделим обе части уравнения на 5:

$1 = \frac{a_1 + \frac{3}{2}}{2}$

$2 = a_1 + \frac{3}{2}$

Отсюда найдем первый член прогрессии $a_1$:

$a_1 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для $n=5$ имеем $a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$. Подставим известные значения $a_5 = \frac{3}{2}$ и $a_1 = \frac{1}{2}$:

$\frac{3}{2} = \frac{1}{2} + 4d$

$4d = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$4d = \frac{2}{2} = 1$

$d = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.