Номер 514, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 514, страница 144.

Условие.

514. Докажите, что при любом $n \in N$ значение выражения $n^5 - n$ делится на 10.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы доказать, что значение выражения $n^5 - n$ делится на 10 при любом натуральном $n \in N$, необходимо и достаточно доказать, что оно делится одновременно на 2 и на 5, поскольку 2 и 5 — взаимно простые числа, и их произведение равно 10.

Для доказательства можно использовать несколько способов.

Способ 1. Разложение на множители и анализ делимости

Сначала разложим выражение на множители, используя формулу разности квадратов:

$n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 + 1)$.

Теперь проанализируем делимость этого произведения на 2 и на 5.

1. Делимость на 2.

В полученном произведении $(n-1)n(n+1)(n^2 + 1)$ есть множители $(n-1)$ и $n$, которые являются двумя последовательными натуральными числами. Среди двух последовательных чисел одно обязательно четное, поэтому их произведение $(n-1)n$ всегда делится на 2. Следовательно, и все выражение $n^5 - n$ делится на 2.

2. Делимость на 5.

Докажем, что произведение $(n-1)n(n+1)(n^2 + 1)$ всегда делится на 5. Для этого рассмотрим, какой остаток дает число $n$ при делении на 5.

• Если остаток равен 0 (т.е. $n$ делится на 5), то множитель $n$ делится на 5.
• Если остаток равен 1, то множитель $(n-1)$ делится на 5.
• Если остаток равен 4 (или -1), то множитель $(n+1)$ делится на 5.
• Если остаток равен 2, то множитель $(n^2+1)$ делится на 5, так как $n^2+1 = (5k+2)^2+1 = 25k^2+20k+4+1 = 25k^2+20k+5 = 5(5k^2+4k+1)$.
• Если остаток равен 3, то множитель $(n^2+1)$ также делится на 5, так как $n^2+1 = (5k+3)^2+1 = 25k^2+30k+9+1 = 25k^2+30k+10 = 5(5k^2+6k+2)$.

Таким образом, при любом натуральном $n$ один из сомножителей в разложении делится на 5, а значит, и все произведение делится на 5. Делимость на 5 также можно доказать с помощью Малой теоремы Ферма, согласно которой $n^p - n$ делится на простое число $p$. Для $p=5$ получаем, что $n^5 - n$ делится на 5.

Поскольку выражение $n^5 - n$ делится и на 2, и на 5, оно делится на их произведение, то есть на 10.

Способ 2. Алгебраическое преобразование

Преобразуем исходное выражение так, чтобы явно выделить слагаемые, делящиеся на 10:

$n^5 - n = (n-1)n(n+1)(n^2+1) = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5)$

$= (n-1)n(n+1)((n-2)(n+2)+5) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1)$.

Рассмотрим полученную сумму. Первое слагаемое, $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$, — это произведение пяти последовательных целых чисел. Такое произведение всегда делится на $5! = 120$, и, следовательно, делится на 10.

Второе слагаемое, $5(n-1)n(n+1)$, имеет множитель 5. Кроме того, множитель $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных чисел, которое всегда четно (делится на 2). Значит, второе слагаемое делится на $5 \times 2 = 10$.

Поскольку оба слагаемых делятся на 10, их сумма также делится на 10.

Способ 3. Проверка по последней цифре

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0. Это означает, что для выражения $n^5 - n$ последняя цифра должна быть 0. Это равносильно тому, что числа $n^5$ и $n$ оканчиваются на одну и ту же цифру. Проверим это для всех возможных последних цифр числа $n$ (от 0 до 9):

• $0^5 = 0 \rightarrow$ последняя цифра 0
• $1^5 = 1 \rightarrow$ последняя цифра 1
• $2^5 = 32 \rightarrow$ последняя цифра 2
• $3^5 = 243 \rightarrow$ последняя цифра 3
• $4^5 = 1024 \rightarrow$ последняя цифра 4
• $5^5 = 3125 \rightarrow$ последняя цифра 5
• $6^5 = 7776 \rightarrow$ последняя цифра 6
• $7^5 = 16807 \rightarrow$ последняя цифра 7
• $8^5 = 32768 \rightarrow$ последняя цифра 8
• $9^5 = 59049 \rightarrow$ последняя цифра 9

Как видно, во всех случаях последняя цифра числа $n^5$ совпадает с последней цифрой числа $n$. Следовательно, их разность $n^5 - n$ всегда будет оканчиваться на 0, а значит, делится на 10.

Ответ: Утверждение доказано. Всеми тремя способами показано, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^5 - n$ делится на 10.