Номер 513, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 513, страница 144.

Условие.

513. В арифметической прогрессии девять членов, первый равен 1, а ее сумма равна 369. В геометрической прогрессии также девять членов, причем первый и последний члены этих прогрессий совпадают. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $a_n$ — арифметическая прогрессия, а $b_n$ — геометрическая прогрессия.

1. Найдем последний член арифметической прогрессии.
По условию для арифметической прогрессии известно:
- число членов $n = 9$;
- первый член $a_1 = 1$;
- сумма всех членов $S_9 = 369$.
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения, чтобы найти девятый член $a_9$:
$369 = \frac{1 + a_9}{2} \cdot 9$
$369 \cdot 2 = (1 + a_9) \cdot 9$
$738 = 9 + 9a_9$
$9a_9 = 738 - 9$
$9a_9 = 729$
$a_9 = \frac{729}{9} = 81$

2. Найдем знаменатель геометрической прогрессии.
По условию, первый и последний члены геометрической прогрессии совпадают с первым и последним членами арифметической. Следовательно, для геометрической прогрессии:
- число членов $n = 9$;
- первый член $b_1 = a_1 = 1$;
- девятый член $b_9 = a_9 = 81$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.
Подставим наши значения для $n=9$:
$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$
$81 = 1 \cdot q^8$
$q^8 = 81$
Чтобы найти $q$, извлечем корень восьмой степени из обеих частей уравнения:
$q = \pm\sqrt[8]{81}$
Так как $81 = 3^4$, мы можем упростить выражение:
$q = \pm\sqrt[8]{3^4} = \pm3^{\frac{4}{8}} = \pm3^{\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{3}$
Ответ: $\pm\sqrt{3}$