Номер 9, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Последовательность ($a_n$) задана формулой $a_n=n^2-16n+15$. Укажите номера отрицательных членов последовательности и вычислите эти члены.

Для того чтобы найти отрицательные члены последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 - 16n + 15$, необходимо решить неравенство $a_n < 0$.

Укажите номера отрицательных членов последовательности

Решим неравенство $n^2 - 16n + 15 < 0$.

Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения $n^2 - 16n + 15 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196 = 14^2$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{16 - 14}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$n_2 = \frac{16 + 14}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Графиком функции $y = n^2 - 16n + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между ее корнями, то есть при $1 < n < 15$.

Так как номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то отрицательными будут члены с номерами от 2 до 14 включительно.Номера отрицательных членов: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Вычислите эти члены

Теперь вычислим значения членов последовательности для каждого из найденных номеров $n$.

При $n=2$: $a_2 = 2^2 - 16 \cdot 2 + 15 = 4 - 32 + 15 = -13$

При $n=3$: $a_3 = 3^2 - 16 \cdot 3 + 15 = 9 - 48 + 15 = -24$

При $n=4$: $a_4 = 4^2 - 16 \cdot 4 + 15 = 16 - 64 + 15 = -33$

При $n=5$: $a_5 = 5^2 - 16 \cdot 5 + 15 = 25 - 80 + 15 = -40$

При $n=6$: $a_6 = 6^2 - 16 \cdot 6 + 15 = 36 - 96 + 15 = -45$

При $n=7$: $a_7 = 7^2 - 16 \cdot 7 + 15 = 49 - 112 + 15 = -48$

При $n=8$: $a_8 = 8^2 - 16 \cdot 8 + 15 = 64 - 128 + 15 = -49$

При $n=9$: $a_9 = 9^2 - 16 \cdot 9 + 15 = 81 - 144 + 15 = -48$

При $n=10$: $a_{10} = 10^2 - 16 \cdot 10 + 15 = 100 - 160 + 15 = -45$

При $n=11$: $a_{11} = 11^2 - 16 \cdot 11 + 15 = 121 - 176 + 15 = -40$

При $n=12$: $a_{12} = 12^2 - 16 \cdot 12 + 15 = 144 - 192 + 15 = -33$

При $n=13$: $a_{13} = 13^2 - 16 \cdot 13 + 15 = 169 - 208 + 15 = -24$

При $n=14$: $a_{14} = 14^2 - 16 \cdot 14 + 15 = 196 - 224 + 15 = -13$

Ответ: Номера отрицательных членов последовательности: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Значения этих членов: $a_2=-13$, $a_3=-24$, $a_4=-33$, $a_5=-40$, $a_6=-45$, $a_7=-48$, $a_8=-49$, $a_9=-48$, $a_{10}=-45$, $a_{11}=-40$, $a_{12}=-33$, $a_{13}=-24$, $a_{14}=-13$.