Номер 11, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Последовательность $(u_n)$ чисел Фибоначчи задаётся следующим условием: $u_1=1, u_2=1, u_{n+1}=u_n+u_{n-1}$ при $n>2$.

Выпишите первые двенадцать членов этой последовательности:

Проверьте, что для восьмого члена этой последовательности справедливо свойство $u_{n+1}^2 - u_n \cdot u_{n+2} = (-1)^n$.

Выпишите первые двенадцать членов этой последовательности:

Последовательность $(u_n)$ является последовательностью чисел Фибоначчи. Она задается начальными условиями $u_1 = 1, u_2 = 1$ и рекуррентной формулой $u_{n+1} = u_n + u_{n-1}$ для всех $n \ge 2$. (Примечание: условие $n>2$, указанное в задаче, скорее всего, является опечаткой, так как оно не позволяет определить $u_3$. Мы будем использовать стандартное определение, где формула применяется при $n \ge 2$).
Вычислим члены последовательности, начиная с третьего:
$u_3 = u_2 + u_1 = 1 + 1 = 2$
$u_4 = u_3 + u_2 = 2 + 1 = 3$
$u_5 = u_4 + u_3 = 3 + 2 = 5$
$u_6 = u_5 + u_4 = 5 + 3 = 8$
$u_7 = u_6 + u_5 = 8 + 5 = 13$
$u_8 = u_7 + u_6 = 13 + 8 = 21$
$u_9 = u_8 + u_7 = 21 + 13 = 34$
$u_{10} = u_9 + u_8 = 34 + 21 = 55$
$u_{11} = u_{10} + u_9 = 55 + 34 = 89$
$u_{12} = u_{11} + u_{10} = 89 + 55 = 144$

Ответ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Проверьте, что для восьмого члена этой последовательности справедливо свойство $u_{n+1}^2 - u_n \cdot u_{n+2} = (-1)^n$.

Это свойство известно как тождество Кассини. Для проверки справедливости этого свойства для восьмого члена последовательности, подставим $n=8$ в данное равенство:
$u_{8+1}^2 - u_8 \cdot u_{8+2} = (-1)^8$
$u_9^2 - u_8 \cdot u_{10} = 1$
Из первой части задания нам известны значения необходимых членов последовательности:
$u_8 = 21$
$u_9 = 34$
$u_{10} = 55$
Теперь подставим эти числовые значения в левую часть равенства и произведем вычисления:
$34^2 - 21 \cdot 55 = 1156 - 1155 = 1$
Правая часть равенства равна $(-1)^8 = 1$.
Так как левая часть равна правой ($1 = 1$), тождество справедливо для $n=8$.

Ответ: Свойство справедливо, так как в результате подстановки членов последовательности в формулу получается верное равенство $1 = 1$.