Номер 15, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Укажите номера членов последовательности $(a_n)$, где $a_n = 0.5n^2 - 1$, которые заключены между числами 2 и 24. Вычислите эти члены.

Для того чтобы найти члены последовательности $a_n = 0,5n^2 - 1$, которые заключены между числами 2 и 24, необходимо найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется двойное неравенство $2 < a_n < 24$.

Подставим формулу $n$-го члена в неравенство:

$2 < 0,5n^2 - 1 < 24$

Сначала прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$2 + 1 < 0,5n^2 - 1 + 1 < 24 + 1$

$3 < 0,5n^2 < 25$

Затем умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от коэффициента 0,5:

$3 \cdot 2 < 0,5n^2 \cdot 2 < 25 \cdot 2$

$6 < n^2 < 50$

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Найдем натуральные числа $n$, которые удовлетворяют этому неравенству. Для этого извлечём квадратный корень:

$\sqrt{6} < n < \sqrt{50}$

Оценим значения корней: $\sqrt{6} \approx 2,45$ и $\sqrt{50} \approx 7,07$.

Таким образом, мы ищем натуральные числа $n$, которые удовлетворяют условию $2,45 < n < 7,07$.

Этому условию удовлетворяют следующие натуральные числа: 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: Номера искомых членов последовательности: 3, 4, 5, 6, 7.

Теперь, зная номера, вычислим значения соответствующих членов последовательности по формуле $a_n = 0,5n^2 - 1$.

Для $n=3$: $a_3 = 0,5 \cdot 3^2 - 1 = 0,5 \cdot 9 - 1 = 4,5 - 1 = 3,5$.

Для $n=4$: $a_4 = 0,5 \cdot 4^2 - 1 = 0,5 \cdot 16 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Для $n=5$: $a_5 = 0,5 \cdot 5^2 - 1 = 0,5 \cdot 25 - 1 = 12,5 - 1 = 11,5$.

Для $n=6$: $a_6 = 0,5 \cdot 6^2 - 1 = 0,5 \cdot 36 - 1 = 18 - 1 = 17$.

Для $n=7$: $a_7 = 0,5 \cdot 7^2 - 1 = 0,5 \cdot 49 - 1 = 24,5 - 1 = 23,5$.

Все полученные значения действительно находятся в интервале от 2 до 24.

Ответ: Искомые члены последовательности: $a_3=3,5$; $a_4=7$; $a_5=11,5$; $a_6=17$; $a_7=23,5$.